Mathematik HTL 2, Schulbuch

179 Zusammenfassung Für zwei n-Tupel P = (p 1 1 p 2 1 … 1 p n ) und Q = (q 1 1 q 2 1 … 1 q n ) heißt die Zahl P·Q = p 1 q 1 + p 2 q 2 + … + p n q n das Skalarprodukt von P und Q . Der Abstand zwischen P und Q ist u Q – P u = 9 ________ (Q – P)·(Q – P) . Die Geraden durch 0 und P sowie durch 0 und Q stehen genau dann aufeinander normal, wenn P·Q = 0 ist. Für das Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:  Für alle P, Q ist P·Q = Q·P, das heißt, die Reihenfolge der Faktoren spielt beim Skalarprodukt keine Rolle.  Für alle P, Q, R und alle reellen Zahlen s, t ist P·(sQ + tR) = s(P·Q) + t(P·R), das heißt, beim Skalarprodukt kann man wie beim Produkt von Zahlen „ausmultiplizieren“ und „herausheben“.  Für alle von 0 verschiedenen Zahlenpaare bzw. -tripel P ist P·P eine positive reelle Zahl. Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt Q auf eine Gerade g ist  Q, wenn Q auf der Geraden g liegt, und  der Punkt F auf der Geraden g mit der Eigenschaft, dass die Gerade durch Q und F auf g normal steht, wenn Q nicht auf der Geraden g liegt. Der Abstand von Q zu F ist kleiner als der Abstand von Q zu irgendeinem anderen Punkt von g. Wir nennen den Abstand von Q zu F den Abstand des Punktes Q von der Geraden g . Der Fußpunkt des Lotes von Q auf die Gerade {c·P ‡ c * R} ist P·Q _ P·P P. Für zwei von 0 verschiedene Punkte P und Q bezeichnen wir den Winkel zwischen den Halb- geraden von 0 durch Q und von 0 durch P mit α . Dann ist cos( α ) = P·Q __ u P u · u Q u . Sind in einem Dreieck zwei Seitenlängen a und b sowie der von den entsprechenden Seiten eingeschlossene Winkel γ (oder genauer gesagt: cos( γ )) bekannt, dann ist das Quadrat der dritten Seitenlänge c gleich c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos( γ ) . Die Fläche dieses Dreiecks ist 1 _ 2 ·a·b·sin( γ ) . Die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten O, P und Q ist 1 _ 2 9 ___________ (P·P) (Q·Q) 2 – (P·Q) 2 . Skalarprodukt Abstand normal stehen Rechenregeln für das Skalar- produkt Fußpunkt des Lotes y x g Q F Winkel Cosinussatz Fläche eines Dreiecks Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv