Mathematik HTL 2, Schulbuch

177 5.6 Parabel und Kreis Im Kapitel über quadratische Funktionen haben wir uns überlegt, dass wir den Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x – s) 2 + t erhalten, indem wir den Graphen von g mit g(x) = ax 2 um s Einheiten in die Richtung der positiven ersten Koordinatenachse und um t Einheiten in Richtung der positiven zweiten Koordinatenachse verschieben. Der Graph von g ist die Menge {(x, y) ‡ x * R , y = ax 2 }, also die Parabel mit Leitlinie { 2 0 1 ‒ 1 _ 4a 3 + c·(1 1 0) † c * R } und Brennpunkt 2 0 1 1 _ 4a 3 . Daraus folgt: Der Graph der quadratischen Funktion f mit f(x) = a(x – s) 2 + t ist die Parabel mit Leitlinie { (s 1 t) + 2 0 1 ‒ 1 _ 4a 3 + c·(1 1 0) † c * R } und Brennpunkt (s 1 t) + 2 0 1 1 _ 4a 3 . Der Scheitel dieser Parabel ist (s 1 t). 816 Berechne die Leitlinie, den Brennpunkt und den Scheitel des Graphen von h mit h(x) = 1 _ 2 (x – 1) 2 + 3. Der Scheitel dieser Parabel ist (1 1 3). Die Leitlinie ist { (1 1 3) + 2 0 1 ‒ 1 _ 4· 1 _ 2 3 + c·(1 1 0) † c * R } = { 2 1 1 5 _ 2 3 + c·(1 1 0) † c * R } und der Brennpunkt (1 1 3) + 2 0 1 1 _ 4· 1 _ 2 3 = 2 1 1 7 _ 2 3 . 817 Berechne die Leitlinie und den Brennpunkt des Graphen der quadratischen Funktion f. a. f(x) = x 2 + 3 c. f(x) = 1 _ 2 (x – 1) 2 – 1 e. f(x) = ‒ 3(x – 2) 2 + 4 b. f(x) = (x – 1) 2 + 2 d. f(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 + 1 f. f(x) = 2 ‒ 1 _ 3 3 (x + 2) 2 – 1 818 Ermittle die quadratische Funktion, deren Graph die Parabel mit Leitlinie g und Brennpunkt F ist. a. g = {c·(1 1 0) ‡ c * R} , F = (0 1 4) d. g = {(2 1 ‒ 2) + c·(1 1 0) ‡ c * R} , F = (0 1 ‒ 4) b. g = {c·(1 1 0) ‡ c * R }, F = (0 1 ‒ 4) e. g = {(0 1 ‒ 3) + c·(1 1 0) ‡ c * R} , F = (6 1 4) c. g = {(0 1 2) + c·(1 1 0) ‡ c * R} , F = (0 1 4) f. g = {(0 1 ‒ 3) + c·(1 1 0) ‡ c * R} , F = (‒ 6 1 4) 819 Zeichne den Graphen der Funktion f mit f(x) = (x – 2) 2 + 1 mithilfe einer DGS. Zeichne auch den Brennpunkt und die Leitlinie dieser Parabel. Zeichne die Strecken von einem Punkt der Parabel zum Brennpunkt und zum Fußpunkt des Lotes von diesem Punkt auf die Leitlinie ein und überprüfe, ob die Längen dieser zwei Strecken beim Bewegen des Punktes auf der Parabel immer übereinstimmen. 820 Gegeben ist die Parabel { (x 1 y) † x * R , y = 1 _ 2 (x – 1) 2 – 1 } . Welche der Geraden ist Leitlinie dieser Parabel? Begründe. A { (1 1 ‒1) + c·(1 1 0) ‡ c * R} B { (1 1 ‒1,5) + c·(1 1 0) ‡ c * R} C y = ‒1,5 D x = ‒1,5 821 Gegeben ist die Gerade {(1 1 2) + c·(1 1 0) ‡ c * R} und der Brennpunkt F = (2 1 3). Der Graph welcher der quadratischen Funktionen f hat die Leitlinie g und den Brennpunkt F? Begründe. A f(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 + 5 _ 2 B f(x) = 1 _ 4 (x – 2) 2 + 5 _ 2 C f(x) = 1 _ 2 (x – 2) 2 – 5 _ 2 D f(x) = 1 _ 2 (x – 2) 2 + 5 _ 2 Graph einer quadratischen Funktion als Parabel B y x g F (1 1 3) Leitlinie, Brennpunkt und Scheitel einer Parabel berechnen B B B, C B, D B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv