Mathematik HTL 2, Schulbuch

175 5.5 Das Vektorprodukt im R 3 Drehmoment Wenn ein starrer Körper an einem Drehpunkt drehbar befestigt ist und auf einen seiner Punkte eine Kraft wirkt, dann entsteht ein Drehmoment . Es beschreibt die Drehung um eine Achse, die durch die Wirkung der Kraft entsteht. Zur Berechnung des Drehmoments wählen wir im Raum ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und beschreiben den Drehpunkt und den Punkt, auf den die Kraft wirkt, wie gewohnt durch Zahlentripel D und P. Die Kraft, die auf den Punkt wirkt, beschreiben wir durch einen Ortsvektor mit Spitze F. Als Längeneinheit wählen wir 1m, als Einheit für den Betrag einer Kraft 1N. Dann ist das Drehmoment M durch M = (P – D) × F definiert, sein Betrag wird in Nm gemessen. Die Gerade durch D und D + M ist die Drehachse der entstandenen Drehung. Der Betrag von M ist das Produkt u P – D u · u F u ·sin( α ) Nm, wobei α der Winkel zwischen P – D und F mit Scheitel D ist. Unter Kräften von gleichem Betrag bewirken also jene das stärkste Drehmoment, die normal auf die Gerade durch D und P wirken. 809 Berechne das Drehmoment und seinen Betrag für die Kraft _ À F mit Spitze F, die im Punkt P angreift, wenn der Drehpunkt der Nullpunkt ist. (Längeneinheit: 1m; Einheit für Betrag: 1N) a. P = (2 1 1 1 0) und F = (0 1 20 1 0) c. P = (4 1 5 1 0,5) und F = (100 1 50 1 ‒70) b. P = (1 1 1 1 4) und F = (‒ 50 1 30 1 0) d. P = (‒ 2 1 1 1 5) und F = (80 1 30 1 40) 810 Bestimme das Drehmoment und seinen Betrag für die Kraft _ À F mit Spitze F, wenn A der Dreh- punkt und B der Ansatzpunkt der Kraft ist. (Längeneinheit: 1m; Einheit für Betrag: 1N) a. A = (1 1 1 1 1), B = (2 1 3 1 4) und F = (70 1 0 1 0) c. A = (‒5 1 ‒2 1 ‒4), B = (0 1 0 1 0) und F = (0 1 150 1 0) b. A = (5 1 3 1 0), B = (7 1 1 1 4) und F = (10 1 10 1 10) d. A = (5 1 3 1 0), B = (1 1 1 1 1) und F = (200 1 0 1 100) Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann Normalvektoren einer Ebene berechnen. 811 Berechne einen Normalvektor der Ebene durch (0 1 0 1 0), (1 1 1 1 1) und (1 1 2 1 3). Ich kann das Vektorprodukt zweier Zahlentripel berechnen. 812 Bestimme das Vektorprodukt P × Q. a. P = (5 1 4 1 3) und Q = (1 1 1 1 1) c. P = (2 1 ‒ 4 1 8) und Q = (1 1 1 1 1) b. P = (‒1 1 5 1 2) und Q = (3 1 ‒ 2 1 ‒ 4) d. P = (‒1 1 ‒ 5 1 ‒ 4) und Q = (‒ 2 1 ‒ 4 1 ‒1) Ich kann das Vektorprodukt zweier Zahlentripel geometrisch interpretieren. 813 Gib den Umfang und die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten (‒1 1 2 1 5), (6 1 4 1 3) und (3 1 3 1 1) an. 814 Finde mithilfe des Vektorprodukts eine Gleichung der Ebene durch die 3 Punkte (4 1 1 1 2), (0 1 2 1 1) und (1 1 1 1 4). 815 Als Längeneinheit wählen wir 1 m, als Einheit für den Betrag einer Kraft 1N. Berechne das Drehmoment und seinen Betrag für die Kraft _ À F mit Spitze F = (100 1 70 1 ‒ 20), wenn sich der Dreh- punkt im Punkt D = (1 1 ‒1 1 ‒1) und der Ansatzpunkt der Kraft im Punkt P = (3 1 2 1 4) befindet. r F D P Drehpunkt Drehmoment A, B A, B B B B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv