Mathematik HTL 2, Schulbuch

174 Skalarprodukt, Abstand und Winkel Wenn P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und Q = (q 1 1 q 2 1 q 3 ) ist, dann ist P × Q = (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ) . Tipp So kann man sich die Berechnung des Vektorprodukts leicht merken: p 1 q 1 p 1 q 1 p 1 q 1 p 2 q 2 ¥ p 2 q 3 – p 3 q 2 p 2 q 2 ¥ ‒ (p 1 q 3 – p 3 q 1 ) p 2 q 2 ¥ p 1 q 2 – p 2 q 1 p 3 q 3 p 3 q 3 p 3 q 3 802 Berechne P × Q und Q × P. a. P = (1 1 2 1 3), Q = (‒ 2 1 3 1 0) b. P = (1 1 0 1 0), Q = (1 1 1 1 0) c. P = (4 1 ‒2 1 6), Q = (‒6 1 3 1 ‒9) 803 Ermittle das Vektorprodukt a × b. Kontrolliere dein Ergebnis, indem du jeweils das Skalarprodukt (a × b)·a und (a × b)·b berechnest. a. a = (1 1 3 1 0), b = (0 1 4 1 1) b. a = (4 1 3 1 ‒1), b = (2 1 ‒1 1 1) c. a = (1 1 ‒5 1 ‒3), b = (1 1 ‒4 1 2) 804 Bestimme die Fläche des Dreiecks ABC mithilfe des Vektorprodukts: A = (2 1 1 1 4), B = (5 1 ‒ 2 1 3), C = (‒1 1 3 1 2) Wir verschieben zunächst das gesamte Dreieck so, dass der Punkt C im Ursprung des Koordinatensystems zu liegen kommt. Das neue Dreieck hat dann die Punkte (A – C) = (3 1 ‒ 2 1 2), (B – C) = (6 1 ‒ 5 1 1) und (C – C) = (0 1 0 1 0). Da jedes Dreieck als halbes Parallelogramm aufgefasst werden kann, ist seine Fläche 1 _ 2 · u (A – C) × (B – C) u = 1 _ 2 · u (3 1 ‒ 2 1 2) × (6 1 ‒ 5 1 1) u . Zur Berechnung des Vektorprodukts benutzen wir die etwas übersichtlichere Spalten-Form: 2 3 ‒ 2 2 3 × 2 6 ‒ 5 1 3 = 2 (‒ 2)·1 – 2·(‒ 5) ‒ (3·1 – 2·6) 3·(‒ 5) – (‒ 2)·6 3 = 2 ‒ 2 + 10 ‒ (3 – 12) ‒15 + 12 3 = 2 8 9 ‒ 3 3 Die Fläche des Dreiecks ist somit 1 _ 2 · u (8 1 9 1 ‒ 3) u = 1 _ 2 · 9 ________ 8 2 + 9 2 + (‒ 3) 2 = 1 _ 2 · 9 __ 154 ≈ 6,20. 805 Bestimme mithilfe des Vektorprodukts die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten 0 = (0 1 0 1 0), A, A + B, B. a. A = (1 1 2 1 3) und B = (4 1 5 1 6) c. A = (0 1 5 1 3) und B = (‒ 4 1 3 1 2) b. A = (‒1 1 2 1 4) und B = (2 1 5 1 ‒ 4) d. A = (‒ 4 1 ‒ 2 1 5) und B = (4 1 3 1 ‒ 4) 806 Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C. a. A = (‒ 3 1 6 1 1), B = (3 1 0 1 2) und C = (0 1 ‒ 5 1 3) c. A = (‒ 4 1 ‒ 2 1 ‒1), B = (2 1 2 1 4) und C = (5 1 3 1 1) b. A = (1 1 1 1 1), B = (4 1 3 1 5) und C = (2 1 9 1 4) d. A = (‒1 1 ‒4 1 ‒3), B = (3 1 ‒3 1 ‒2) und C = (2 1 4 1 3) 807 Ermittle eine Gleichung der Ebene durch die Punkte A = (2 1 1 1 4), B = (5 1 ‒ 2 1 3), C = (‒1 1 3 1 2) mit- hilfe des Vektorprodukts. Einen Normalvektor dieser Ebene ist N = (A – C) × (B – C) = (3 1 ‒ 2 1 2) × (6 1 ‒ 5 1 1) = (8 1 9 1 ‒ 3). Die Gleichung der Ebene ist N·(x 1 y 1 z) = N·P, wobei P ein beliebiger Punkt der Ebene ist. Wir wählen zum Beispiel P = A = (2 1 1 1 4) und erhalten (8 1 9 1 ‒ 3)·(x 1 y 1 z) = (8 1 9 1 ‒ 3)·(2 1 1 1 4). Somit lautet die Gleichung der Ebene 8x + 9y – 3z = 13. 808 Ermittle eine Gleichung der Ebene durch die drei gegebenen Punkte mithilfe des Vektorprodukts. a. P 1 = (1 1 1 1 0), P 2 = (0 1 0 1 1) und P 3 = (1 1 0 1 0) c. P 1 = (1 1 ‒5 1 4), P 2 = (‒3 1 2 1 1) und P 3 = (‒1 1 ‒4 1 2) b. P 1 = (‒ 2 1 5 1 3), P 2 = (1 1 1 1 2) und P 3 = (2 1 1 1 0) d. P 1 = (1 1 2 1 3), P 2 = (4 1 ‒ 2 1 ‒ 5) und P 3 = (2 1 3 1 1) Vektorprodukt (Berechnung) B B B die Fläche eines Dreiecks mithilfe des Vektorprodukts berechnen B B B die Gleichung einer Ebene mithilfe des Vektorprodukts berechnen B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv