Mathematik HTL 2, Schulbuch

173 5.5 Das Vektorprodukt im R 3 Einen dieser zwei Punkte nennen wir P × Q (sprich: P kreuz Q). Aber wie wählen wir ihn aus? Wir müssen dazu eine „Auswahlregel“ vereinbaren: Wir legen den Daumen der rechten Hand auf die Strecke 0P und den Zeigefinger der rechten Hand auf die Strecke 0Q und zwar so, dass beide Fingerspitzen von 0 wegzeigen. Dann halten wir den Mittelfinger so, dass er zu der durch Daumen und Zeigefinger gebildeten Ebene {sP + tQ ‡ s, t * R} normal steht. Die Spitze des Mittelfingers liegt nun in einer der zwei Halbgeraden von g. Wir wählen P × Q in dieser Halbgeraden. Wir sagen dann, dass das Tripel von Punkten (P, Q, P × Q) nach der Rechten-Hand-Regel orientiert ist. Hätten wir dieselbe Regel für die linke Hand formuliert, hätten wir P × Q in der anderen Halb- geraden gewählt. Wenn man nämlich die zwei Daumen und die zwei Zeigefinger der zwei Hände übereinanderlegt, dann zeigen die zwei Mittelfinger in verschiedene Richtungen. Zu zwei Zahlentripeln P und Q im R 3 gibt es genau ein Zahlen- tripel P × Q (sprich: P kreuz Q) mit den folgenden Eigenschaften:  Der Abstand u P × Q u zwischen P × Q und (0 1 0 1 0) ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten (0 1 0 1 0), P, P + Q, Q.  P × Q steht auf P und auf Q normal, das heißt: (P × Q)·P = 0 und (P × Q)·Q = 0.  Wenn P × Q ≠ 0 ist, dann ist das Tripel (P, Q, P × Q) nach der Rechten-Hand-Regel orientiert. P × Q heißt Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von P und Q . Das Vektorprodukt wird in der Mechanik verwendet, um Drehmomente und Drehimpulse zu beschreiben. Wenn P, Q und (0 1 0 1 0) auf einer Geraden liegen, ist die Fläche des Parallelogramms (0 1 0 1 0), P, P + Q, Q gleich 0, also folgt schon aus der ersten Bedingung, dass dann P × Q = (0 1 0 1 0) sein muss. Insbesondere ist P × P = (0 1 0 1 0). Die ersten zwei Bedingungen hängen nicht von der Reihenfolge von P und Q ab, wohl aber die dritte. Daraus folgt: P × Q = ‒Q × P. Wir haben P × Q geometrisch beschrieben. Wenn P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und Q = (q 1 1 q 2 1 q 3 ) ist, möchten wir jetzt auch die Zahlen z 1 , z 2 , z 3 mit P × Q = (z 1 1 z 2 1 z 3 ) berechnen. Wir haben bereits gesehen: Weil P × Q normal auf P und auf Q steht, ist P × Q ein Vielfaches von (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ). Die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten (0 1 0 1 0), P, P + Q, Q ist nach Abschnitt 5.4 9 ___________ (P·P)·(Q·Q) – (P·Q) 2 = 9 ___________________________ (p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 )(q 1 2 + q 2 2 + q 3 2 ) – (p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 ) 2 . Nun kann man (mühsam, aber nicht schwer) nachrechnen, dass sie gleich der Norm von (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ) ist. Daher muss P × Q = (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ) oder P × Q = ‒ (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ) sein. Weil (P, Q, P × Q) nach der Rechten-Hand-Regel orientiert sein muss, ist P × Q = (p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ). Der Beweis davon ist zu aufwändig, um ihn hier anzugeben. P Q A - A Vektorprodukt (geometrische Definition) P Q P + Q P x Q Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv