Mathematik HTL 2, Schulbuch

172 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 797 Bestimme alle Normalvektoren und eine Gleichung der Ebene durch (1 1 ‒1 1 0), (3 1 2 1 1) und (1 1 0 1 1). Wegen (3 1 2 1 1) – (1 1 ‒1 1 0) = (2 1 3 1 1) und (1 1 0 1 1) – (1 1 ‒1 1 0) = (0 1 1 1 1) ist E’ = {(1 1 ‒1 1 0) + c·(2 1 3 1 1) + d·(0 1 1 1 1) ‡ c, d * R } die Parameterdarstellung dieser Ebene. Die Normalvektoren von E’ sind die Normalvektoren der dazu parallelen Ebene durch 0, also (nach dem Beispiel oben) alle Vielfachen von (1 1 ‒1 1 1). Eine Gleichung von E’ ist daher (1 1 ‒1 1 1)·(x 1 y 1 z) = (1 1 ‒1 1 1)·(1 1 ‒1 1 0) x – y + z = 1 – (‒1) + 0 = 2, also E’ = {(x 1 y 1 z) ‡ x – y + z = 2}. 798 Gegeben sind zwei Punkte im Raum. Berechne einen Normalvektor der Ebene durch die beiden Punkte und den Nullpunkt und schreibe dann eine Gleichung dieser Ebene an. a. A = (5 1 2 1 3) und B = (2 1 7 1 9) c. A = (‒ 4 1 8 1 7) und B = (1 1 1 1 2) b. A = (‒1 1 ‒ 2 1 ‒ 5) und B = (5 1 5 1 1) d. A = (1 1 0 1 1) und B = (0 1 1 1 2) 799 Bestimme einen Normalvektor der Ebene durch die drei Punkte und schreibe dann eine Gleichung dieser Ebene an. a. P 1 = (1 1 1 1 0), P 2 = (0 1 0 1 1) und P 3 = (1 1 0 1 0) c. P 1 = (1 1 ‒5 1 4), P 2 = (‒3 1 2 1 1) und P 3 = (‒1 1 ‒4 1 2) b. P 1 = (‒ 2 1 5 1 3), P 2 = (1 1 1 1 2) und P 3 = (2 1 1 1 0) d. P 1 = (1 1 2 1 3), P 2 = (4 1 ‒2 1 ‒5) und P 3 = (2 1 3 1 1) 800 Ermittle einen Normalvektor der Lösungsmenge der Gleichung. a. 3x + 4y – 5z = 0 b. ‒ 2x = 0 c. x – 3y + 4z = 3 d. z = 1 801 Welches der Tripel ist ein Normalvektor der gegebenen Ebene? Begründe. a. Ebene durch die Punkte (1 1 1 1 1), (2 1 0 1 3), (0 1 3 1 1) A (4 1 2 1 1) B (‒ 4 1 ‒ 2 1 1) C (4 1 2 1 ‒1) D (‒ 4 1 ‒ 2 1 ‒1) b. {(0 1 1 1 2) + c·(‒1 1 3 1 1) + d·(1 1 2 1 0) ‡ c * R } A (2 1 1 1 ‒ 5) B (2 1 ‒1 1 ‒ 5) C (‒ 2 1 ‒1 1 ‒ 5) D (‒ 2 1 1 1 ‒ 5) Das Vektorprodukt Für zwei Punkte P und Q bezeichnen wir mit α den Winkel zwischen den Strecken 0P und 0Q. Nach Abschnitt 5.4 ist dann u P u · u Q u ·sin( α ) die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten 0, P, P + Q und Q. Wenn diese Fläche nicht 0 ist, liegen 0, P und Q nicht auf einer Geraden, also ist die Menge {sP + tQ ‡ s, t * R} eine Ebene. Die Menge der Normalvektoren dieser Ebene ist eine Gerade durch 0, die zu dieser Ebene normal ist. Auf dieser Geraden durch 0 gibt es genau zwei Punkte, deren Abstand von 0 gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten 0, P, P + Q und Q ist. Wenn A einer dieser zwei Punkte ist, dann ist ‒A der andere. B mcd v7g5yn die Normal- vektoren und eine Gleichung einer Ebene bestimmen B B B B, D ggb m65cf9 z y x N Q P P + Q z y x Q P P + Q c c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv