Mathematik HTL 2, Schulbuch

171 5.5 Das Vektorprodukt im R 3 Ich lerne Normalvektoren einer Ebene zu berechnen. Ich lerne das Vektorprodukt zweier Zahlentripel zu berechnen. Ich lerne das Vektorprodukt zweier Zahlentripel geometrisch zu interpretieren. Normalvektoren einer Ebene im Raum Wir wählen im Raum ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und betrachten dann alle Punkte als Zahlentripel. Gegeben sind zwei von 0 verschiedene Punkte P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und Q = (q 1 1 q 2 1 q 3 ) so, dass 0, P und Q nicht auf einer Geraden liegen. Wie findet man eine Gerade, die zur Ebene {c P + dQ ‡ c, d * R} normal ist? Diese Gerade g ist die Menge aller Punkte N mit der Eigenschaft: Für alle reellen Zahlen c, d ist (cP + dQ)·N = 0. Insbesondere ist für alle Punkte N von g: P·N = 0 und Q·N = 0. Wenn umgekehrt P·N = 0 und Q·N = 0 ist, dann ist für alle reellen Zahlen c, d auch (cP + dQ)·N = c(P·N) + d(Q·N) = c·0 + d·0 = 0. N = (x 1 y 1 z) muss also die Bedingung N·P = 0 und N·Q = 0 erfüllen, somit Lösung des Systems I) p 1 x + p 2 y + p 3 z = 0 II) q 1 x + q 2 y + q 3 z = 0 von zwei homogenen linearen Gleichungen mit drei Unbekannten sein. Als Lösungsmenge dieses Systems erhalten wir die Menge {t·(p 2 q 3 – p 3 q 2 1 p 3 q 1 – p 1 q 3 1 p 1 q 2 – p 2 q 1 ) ‡ t * R} . Diese ist eine Gerade im Raum durch den Nullpunkt. Wir nennen ihre von 0 verschiedenen Elemente Normalvektoren der Ebene {c·P + d·Q ‡ c, d * R} . Wir nennen diese auch Normal- vektoren für alle zu dieser Ebene parallelen Ebenen. Wenn N ein Normalvektor dieser Ebene ist, dann ist {c·P + d·Q ‡ c, d * R} = {(a 1 1 a 2 1 a 3 ) ‡ N·(a 1 1 a 2 1 a 3 ) = 0}. In Worten: Die Ebene {c·P + d·Q ‡ c, d * R} ist die Menge aller Zahlentripel, deren Skalarprodukt mit N gleich 0 ist. Kennen wir N, dann haben wir auch eine Gleichung der Ebene gefunden: Die Komponenten von N sind die Koeffizienten dieser Gleichung. 796 Bestimme alle Normalvektoren und eine Gleichung der Ebene durch die Punkte (0 1 0 1 0), (2 1 3 1 1) und (0 1 1 1 1). Ein Normalvektor der Ebene E = {c·(2 1 3 1 1) + d·(0 1 1 1 1) ‡ c, d * R } ist (3·1 – 1·1 1 1·0 – 2·1 1 2·1 – 3·0) = (2 1 ‒ 2 1 2). Wir hätten ihn auch als eine Lösung ≠ 0 des folgenden Gleichungssystems berechnen können: I) 2x + 3y + z = 0 II) y + z = 0 Die zu E normale Gerade ist daher {c·(2 1 ‒ 2 1 2) ‡ c * R} . Eine Gleichung von E ist 2x – 2y + 2z = 0, also E = {(x 1 y 1 z) ‡ x – y + z = 0}. z y x Q P N ggb gb3s7e Normalvektor einer Ebene im Raum B mcd w27bb9 die Normal- vektoren und eine Gleichung einer Ebene durch 0 bestimmen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv