Mathematik HTL 2, Schulbuch

17 1.2 Graphen quadratischer Funktionen Tipp Aus dem Graphen einer quadratischen Funktion f können wir seine Scheitelform f(x) = a(x – s) 2 + t ablesen, also die Zahlen a, s und t ermitteln: Wir lesen zuerst den Scheitel (s 1 t) ab. Dann lesen wir f(s + 1) ab. Weil f(s + 1) = a(s + 1‒ s) 2 + t = a + t ist, ist a = f(s + 1) – t. 32 Stelle die quadratische Funktion g mit g(x) = 2x 2 + 5x – 3 in Scheitelform dar und zeichne ihren Graphen. g(x) = 2x 2 + 5x – 3 = 2(x – s) 2 + t = 2x 2 ‒ 4xs + 2s 2 + t, daher ist s = ‒ 5 _ 4 und t = ‒ 3 – 2 2 25 _ 16 3 = ‒ 49 _ 8 . Der Scheitel ist daher 2 ‒ 5 _ 4 1 ‒ 49 _ 8 3 . Mithilfe der Darstellung g mit g(x) = 2 2 x – 2 ‒ 5 _ 4 3 3 2 – 49 _ 8 können wir nun den Graphen der Funktion g zeichnen: Wir zeichnen zunächst den Graphen der Funktion h mit h(x) = x 2 und verschieben diesen um 5 _ 4 in Richtung der negativen x-Achse. Dann multiplizieren wir die zweite Koordinate jedes Punktes dieses Graphen mit 2 und verschieben den so erhaltenen Graphen schließ- lich um 49 _ 8 in Richtung der negativen y-Achse. 33 Berechne die Scheitelform der quadratischen Funktionen f mit f(x) = x 2 , g mit g(x) = x 2 + x, h mit h(x) = x 2 – 2x, i mit i(x) = x 2 + 2x und zeichne ihre Graphen in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Analysiere die Darstellungen. 34 Berechne die Scheitelform der quadratischen Funktionen f mit f(x) = x 2 , g mit g(x) = x 2 + 2x + 1, h mit h(x) = x 2 – 2x + 1, i mit i(x) = x 2 + 4x + 4 und zeichne ihre Graphen in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Analysiere die Darstellungen. 35 Welche der Scheitelformen ist die Scheitelform der Funktion g mit g(x) = 1 _ 2 x 2 + 2x + 5? A g(x) = 1 _ 2 (x – 2) 2 + 3 B g(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 + 3 C g(x) = 1 _ 2 (x – 2) 2 + 5 D g(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 + 5 36 Ordne den Graphen die richtige Scheitelform zu. A g(x) = 1 _ 2 (x + 2) 2 + 1 B g(x) = ‒ 1 _ 2 (x + 2) 2 + 1 C g(x) = (x – 1) 2 – 2 D g(x) = (x + 1) 2 – 2 37 a. Berechne den Scheitel der quadratischen Funktion I. x ¦ x 2 + p·x + q, II. x ¦ a·x 2 + b·x + c. b. Berechne den Scheitel von x ¦ x 2 + 6x – 4, indem du im Ergebnis von a. I. p = 6 und q = ‒ 4 ein- setzt. c. Berechne den Scheitel von x ¦ 4x 2 + 5x + 2, indem du im Ergebnis von a. II. a = 4, b = 5 und c = 6 einsetzt. y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 (s 1 t) s t B ggb pq2x6u eine quadratische Funktion in Scheitelform darstellen y x 0 - 3 - 4 - 2 -1 1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 -7 - 2 -1 1 49 8 5 4 ( ) - 1 - B, C B, C B C x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 x y 0 - 2 - 4 2 4 - 2 - 4 2 4 B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv