Mathematik HTL 2, Schulbuch

169 5.4 Skalarprodukt und Winkel Winkel zwischen Kräften Zur Erinnerung: Mit P und Q bezeichnen wir zwei verschiedene Punkte der Ebene bzw. des Raumes. Ein Pfeil von P nach Q in der Ebene ist das Paar (P, Q) von Punkten der Ebene bzw. des Raumes. P heißt der Schaft oder der Anfangspunkt , Q die Spitze oder der Endpunkt des Pfeils. Der Betrag oder die Länge eines Pfeils ist der Abstand zwischen seinem Schaft und seiner Spitze. Durch einen Pfeil (P, Q) mit Schaft P und Spitze Q wird die Halbgerade {P + c·(Q – P) ‡ c * R , c º 0} von P durch Q festgelegt. Die dazu parallele Halbgerade {c·(Q – P) ‡ c * R , c º 0} von 0 durch Q – P nennen wir die Richtung des Pfeils. Beispiele: Die Pfeile (P, Q) und (0, Q – P) haben dieselbe Richtung, die Pfeile (P, Q) und (Q, P) haben verschiedene Richtung. Wenn (P, Q) und (P, R) zwei Pfeile mit gemeinsamem Schaft P sind, dann bezeichen wir den Winkel ½ QPR zwischen den Strecken PQ und PR als Winkel zwischen den Pfeilen (P, Q) und (P, R). Durch solche Pfeile werden Kräfte, die im Punkt P angreifen, dargestellt. 785 In der Zeichnung ist der (gemeinsame) Anfangspunkt der Pfeile jeweils der Nullpunkt des Koordinatensystems. Die Endpunkte der Pfeile bezeichnen wir mit A und B. Lies aus der Zeich- nung die Koordinaten von A = (a 1 1 a 2 ) und B = (b 1 1 b 2 ), den Fußpunkt des Lotes F von B auf die Gerade durch 0 und A, die Abstände u A u bzw. u B u zwischen 0 und A bzw. B sowie den Winkel φ zwischen den Strecken 0A und 0B ab. Berechne jeweils das Skalarprodukt auf drei Arten. I. A·B = u A u · u F u II. A·B = u A u · u B u ·cos( φ) III. A·B = a 1 b 1 + a 2 b 2 a. c. b. d. Richtung eines Pfeils y x 0 P Q – P Q Winkel zwischen zwei Pfeilen Q P R y x B, C y 0 x -1 1 2 3 4 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 -1 - 2 - 3 - 4 A B y 0 x -1 1 2 3 4 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 -1 - 2 - 3 - 4 A B y 0 x -1 1 2 3 4 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 -1 - 2 - 3 - 4 A B y 0 x -1 1 2 3 4 - 2 - 3 - 4 1 2 3 4 -1 - 2 - 3 - 4 A B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv