Mathematik HTL 2, Schulbuch

168 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 774 Berechne die Fläche des Parallelogramms 0, P = (2 1 0 1 3), Q = (0 1 4 1 5), P + Q. Die gesuchte Fläche ist 9 ___________ (P·P)(Q·Q) – (P·Q) 2 = 9 _______ 13·41 – 225 = 9 __ 308 . Wenn γ der Winkel zwischen den Strecken 0P und 0Q ist, dann ist (P·Q) 2 = (P·P)·(Q·Q) cos( γ ) 2 , also ist die Fläche des Parallelogramms gleich u P u · u Q u 9 ______ 1 – cos( γ ) 2 = u P u · u Q u ·sin( γ ) und die Fläche des Dreiecks 0, P, Q die Hälfte davon. In anderen Worten: Sind a und b die Längen von zwei Seiten eines Dreiecks und γ der von diesen eingeschlossene Winkel, dann ist die Fläche des Dreiecks gleich 1 _ 2 ·a·b·sin( γ ) . 775 Für drei Punkte A, B, C im Gelände werden die Abstände zwischen A und C (3 km) und zwischen B und C (6 km), sowie der Winkel zwischen den Strecken CA und CB (60°) bestimmt. Berechne die Fläche des Dreiecks ABC. Die Fläche beträgt 1 _ 2 ·3·6·sin(60°) = 1 _ 2 ·3·6· 9 _ 3 _ 2 = 9· 9 _ 3 _ 2 ≈ 7,79 km 2 . 776 Bestimme die Fläche des Parallelogramms, dessen Eckpunkte der Nullpunkt und die Punkte A, B, A + B sind. a. A = (1 1 ‒ 4), B = (2 1 1) c. A = (0 1 1), B = (7 1 ‒1) e. A = (0 1 1 1 ‒ 2), B = (2 1 3 1 1) b. A = (2 1 0), B = (‒ 2 1 4) d. A = (3 1 3 1 ‒ 2), B = (2 1 ‒ 2 1 1) f. A = (1 1 3 1 2), B = (2 1 0 1 1) 777 Berechne die Fläche des Dreiecks, dessen Eckpunkte der Nullpunkt, A und B sind. a. A = (2 1 ‒ 4), B = (2 1 3) b. A = (‒ 2 1 1), B = (‒ 2 1 4) c. A = 2 1 _ 2 1 1 1 3 3 , B = (0 1 ‒1 1 2) 778 Ein gleichschenkeliges Dreieck hat die Eckpunkte A = (‒ 2 1 3) und B = (1 1 ‒1). Ermittle C und bestimme die Fläche des Dreiecks. Prüfe mithilfe einer DGS. 779 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man drei Eckpunkte. Ermittle die Koordinaten des fehlenden vierten Eckpunkts, den Umfang, den Winkel α zwischen den Strecken AB und AD und die Fläche dieses Parallelogramms. a. A = (2 1 1), B = (5 1 8), C = (3 1 11) b. A = (‒ 2 1 0 1 3), C = (0 1 4 1 1), D = (5 1 2 1 ‒ 3) 780 Von einem Viereck kennt man die Eckpunkte A = (1 1 2), B = (2 1 ‒1), C = (6 1 ‒1) und D = (7 1 6). Berechne zuerst die Fläche des Vierecks, und überprüfe deine Berechnungen, indem du die Fläche mithilfe einer DGS bestimmst. 781 Von einer Raute mit der Seitenlänge 4 kennt man die Eckpunkte A = (1 1 2) und den nicht benach- barten Eckpunkt C = (4 1 4). Berechne zunächst die Eckpunkte B und D und bestimme dann die Fläche der Raute. Prüfe alle Ergebnisse mithilfe einer DGS. 782 Gegeben ist das Siebeneck ABCDEFG mit den Punkten A = (7 1 3), B = (4 1 5), C = (0 1 6), D = (‒ 2 1 3), E = (‒ 2 1 0), F = (0 1 ‒ 2), G = (5 1 ‒1). Berechne die Fläche dieses Siebenecks. 783 Ein Trapez hat die Eckpunkte A = (3 1 1), B = (15 1 10), C = (6 1 12) und der Abstand zwischen C und D ist 5 cm. Ermittle die Koordinaten des Eckpunkts D und die Fläche des Trapezes. 784 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A = (3 1 9 1 0), B = (2 1 7 1 ‒ 4) und C = (8 1 6 1 3). Gib die Koordinaten des Eckpunktes D und die Fläche des Parallelogramms an. B mcd xh9bi6 Fläche eines Parallelogramms berechnen trigonome- trische Flächen- formel für ein Dreieck B Fläche eines Dreiecks be- rechnen B B B B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv