Mathematik HTL 2, Schulbuch

167 5.4 Skalarprodukt und Winkel 771 Untersuche, ob der Winkel zwischen der Halbgeraden durch den Nullpunkt und P und der Halbgeraden durch den Nullpunkt und Q ein rechter Winkel oder größer als 90° oder kleiner als 90° ist. a. P = (4 1 4), Q = (1 1 ‒ 5) c. P = (2 1 4 1 1), Q = (1 1 ‒ 5 1 3) e. P = (3 1 2 1 ‒ 3), Q = (1 1 2 1 2) b. P = (1 1 ‒ 3), Q = (6 1 2) d. P = (1 1 0 1 4), Q = (‒ 2 1 7 1 1) f. P = (2 1 4 1 1), Q = (1 1 ‒1 1 2) 772 Berechne den Cosinus des Winkels zwischen den Strecken 0A und 0B. a. A = 2 1 1 4 1 1 _ 2 3 , B = 2 2 1 3 _ 4 1 ‒ 5 3 c. A = (2 1 2 1 1), B = (1 1 ‒ 2 1 2) e. A = (3 1 2), B = (2 1 3) b. A = (1 1 ‒ 3), B = (6 1 2) d. A = 2 1 _ 2 1 1 1 ‒ 2 3 , B = (‒ 4 1 1 1 1) f. A = (‒1 1 1), B = (1 1 0) 773 Zeichne zwei Halbgeraden, deren gemeinsamer Anfangspunkt (0 1 0) ist, die den Winkel γ einschließen. a. cos( γ ) = 1 _ 2 c. cos( γ ) = ‒ 3 _ 5 e. cos( γ ) = ‒ 0,17 b. cos( γ ) = 3 _ 4 d. cos( γ ) = ‒ 2 _ 3 f. cos( γ ) = 0,64 Cosinussatz und trigonometrischer Flächenformel Wenn wir den Winkel γ zwischen zwei von 0 verschiedenen Punkten P und Q mit Scheitel 0 und die Abstände zwischen P und 0 sowie Q und 0 kennen, können wir den Abstand zwischen P und Q berechnen. Um die Wurzel zu vermeiden, berechnen wir zuerst das Quadrat dieses Abstandes. u P – Q u 2 = (P – Q)·(P – Q) = P·P + Q·Q – 2·P·Q = = u P u 2 + u Q u 2 – 2· u P u · u Q u ·cos( γ ). Das Ergebnis dieser einfachen Berechnung heißt Cosinussatz . In Worten kann er so formuliert werden: Sind in einem Dreieck zwei Seitenlängen a und b sowie der von den entsprechenden Seiten ein- geschlossene Winkel γ (oder, genauer gesagt: cos( γ )) bekannt, dann kann das Quadrat der Länge der dritten (dem Winkel γ gegenüberliegenden Seite) durch c 2 = a 2 + b 2 – 2·a·b·cos( γ ) berechnet werden. Umgekehrt kann auch cos( γ ) berechnet werden, wenn alle drei Seiten bekannt sind: cos( γ ) = a 2 + b 2 – c 2 __ 2 · a · b . Die Fläche des Parallelogramms mit den Eckpunkten 0, P, Q und P + Q ist die Länge einer seiner Seiten mal der Länge der darauf normal stehenden Höhe, also das Produkt von u P u mit dem Abstand von Q von der Geraden {c·P ‡ c * R }. Wenn F der Fußpunkt des Lotes von Q auf {c·P ‡ c * R} ist, dann ist F = P·Q _ P·P ·P und der Abstand von Q von der Geraden {c·P ‡ c * R} ist u Q – P·Q _ P·P P u . Das Quadrat davon ist 2 Q – P·Q _ P·P P 3 · 2 Q – P·Q _ P·P P 3 = Q·Q – 2(P·Q) 2 __ P·P + (P·Q) 2 _ P·P = Q·Q – (P·Q) 2 _ P·P . Die Fläche des Parallelogramms 0, P, Q, P + Q ist daher 9 ___________ (P·P)(Q·Q) – (P·Q) 2 . B, C B B õ y x Q P (0 1 0) Cosinussatz y x 0 h Q P F P + Q Fläche eines Parallelo- gramms Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv