Mathematik HTL 2, Schulbuch

166 Skalarprodukt, Abstand und Winkel Aus dem Vorjahr wissen wir: Wenn α kleiner oder gleich π _ 2 bzw. ist, dann ist sin( α ) = 9 ______ 1 – cos( α ) 2 . Wenn π _ 2 ª α ª π bzw. 90° ª α ª 180° ist, dann definieren wir sin( α ) = 9 ______ 1 – cos( α ) 2 . Dann gilt auch für diese Winkel sin( α ) 2 + cos( α ) 2 = 1 . Wenn u P u = u Q u = 1 ist, dann ist cos( α ) = P·Q und † cos( α ) † ist der Abstand zwischen 0 und dem Fuß- punkt F des Lotes von Q auf die Gerade durch 0 und P. Also ist cos( α ) eine Zahl zwischen ‒1 und 1 und durch diese Zahl wird der Winkel α eindeutig beschrieben. Der Winkel α ist die Länge eines Kreisbogens, die Zahl † cos( α ) † die Länge einer Strecke. Daher ist † cos( α ) † leichter zu messen als α . Wenn cos( α ) bekannt ist, dann kann der Winkel α so gezeichnet werden: Auf einer Geraden durch 0 wählen wir einen Punkt P, dessen Abstand von 0 gleich 1 ist. Wenn cos( α ) º 0 ist, dann zeichnen wir auf der Strecke zwischen 0 und P einen Punkt F ein, dessen Abstand von 0 gleich cos( α ) ist. Wenn cos( α ) < 0 ist, dann zeichnen wir auf der Strecke zwischen 0 und ‒P einen Punkt F ein, dessen Abstand von 0 gleich † cos( α ) † ist. Nun zeichnen wir einen Halbkreis mit Mittelpunkt 0 von P bis ‒P ein (es gibt dazu zwei Möglichkeiten, wir wählen eine davon) und die Gerade durch F, die auf {c·P ‡ c * R} normal steht. Diese Gerade hat mit dem Halbkreis genau einen Schnittpunkt Q. Dann ist α die Länge des Kreis- bogens zwischen P und Q, also der Winkel zwischen {c·P ‡ c * R 0 + } und {c·Q ‡ c * R 0 + } . Der Abstand von Q zur Geraden {c·P ‡ c * R} bzw. zu F ist u Q – F u = 9 ________ (Q – F)·(Q – F) = 9 __________ Q·Q – 2Q·F + F·F = = 9 _____________ 1 – 2 u F u cos( α ) + cos( α ) 2 = = 9 ______ 1 – cos( α ) 2 = sin( α ). Wir haben nun Winkel und Längen mithilfe des Skalarprodukts beschrieben. Wir können aber auch umgekehrt das Skalarprodukt von P und Q durch Winkel und Längen beschreiben: P·Q = u P u · u Q u ·cos( α ) 769 Berechne den Cosinus des Winkels zwischen P = (1 1 1 1 3) und Q = (2 1 1 1 2) mit Scheitel 0 = (0 1 0 1 0), das heißt des Winkels zwischen den Strecken 0P und 0Q. Entscheide, ob der Winkel größer oder kleiner als π _ 2 ist. Der Cosinus des Winkels zwischen 0P und 0Q ist P·Q __ u P u · u Q u = (1 1 1 1 3)·(2 1 1 1 2) ___ 9 _ 11· 9 _ 9 = 3 9 __ 11 _ 11 . Da diese Zahl positiv ist, ist der Winkel kleiner als π _ 2 . 770 Berechne den Cosinus des Winkels ½ A0B zwischen A = (1 1 1) und B = (‒ 2 1 ‒1) mit Scheitel 0. Entscheide, ob der Winkel größer oder kleiner als π _ 2 ist. Der Cosinus des Winkels zwischen den Strecken 0A und 0B ist A·B __ u A u · u B u = (1 1 1)·(‒2 1 ‒1) __ 9 _ 2· 9 _ 5 = ‒ 3 9 __ 10 _ 10 . Da diese Zahl negativ ist, ist der Winkel größer als π _ 2 . sin( α ) für π _ 2 < α ª π ó y x sin( ó ) cos( ó ) - P Q P F ggb d49dm6 B mcd 2kh3ka Cosinus eines Winkels berechnen B mcd 8v6u2n Cosinus eines Winkels berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv