Mathematik HTL 2, Schulbuch

165 5.4 Skalarprodukt und Winkel 765 Gegeben sind drei Punkte S, P 1 und P 2 . Bestimme den Fußpunkt des Lotes von S auf die Gerade durch P 1 und P 2 sowie den entsprechenden Abstand. a. S = (‒7 1 6), P 1 = (2 1 0) und P 2 = (‒ 3 1 5) c. S = (‒ 2 1 8 1 6), P 1 = (3 1 2 1 1) und P 2 = (3 1 4 1 1) b. S = (3 1 4), P 1 = (1 1 ‒1) und P 2 = (4 1 3) d. S = (‒ 5 1 1 1 5), P 1 = (‒1 1 1 1 2) und P 2 = (4 1 5 1 3) 766 Eine Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den Eckpunkten A = (1 1 1 1 1), B = (3 1 1 1 1), C = (3 1 3 1 1) und D = (1 1 3 1 1) sowie die Spitze in S = (2 1 2 1 5). Ermittle den Fußpunkt des Lotes von S auf die Gerade durch A und C und den Abstand von S zu dieser Geraden. 767 Ein Haus liegt einige Meter von einer gerade verlaufenden Straße entfernt. Um einen Kanal- anschluss möglichst kostengünstig herzustellen, soll die kürzeste Distanz vom Haus zur Straße berechnet werden. Dafür wurden bereits rechtwinkelige Geländekoordinaten erhoben. Die Straße geht durch die Punkte (120 1 50) und (170 1 90), der Hausanschluss hat die Koordinaten (130 1 70). a. Ermittle, wie lang die kürzeste Strecke vom Haus bis zur Straße ist, wenn die gewählte Einheitslänge 1m ist. b. Berechne die Koordinaten des Kanalanschlusses. 768 Verwende ein Tabellenkalkulationsprogramm, um den Fußpunkt des Lotes von einem beliebigen Punkt zu einer durch zwei Punkte gegebenen Geraden zu berechnen. Orientiere dich dabei an Aufgabe 765. Winkelberechnungen Zur Erinnerung: Wir haben im Vorjahr für den Winkel α zwischen einer Kathete und der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks die Zahl cos( α ) als Quotient der Seitenlänge der dem Winkel anliegenden Kathete und der Seitenlänge der Hypotenuse definiert: cos( α ) = Länge der Ankathete ___ Länge der Hypotenuse Da das Dreieck rechtwinkelig ist, ist α kleiner als π _ 2 bzw. 90°. Wir erweitern jetzt die Definition von cos( α ) auf Winkel, die größer als π _ 2 bzw. 90°, aber nicht größer als π bzw. 180° sind. Für zwei von 0 verschiedene Punkte P und Q betrachten wir das recht- winkelige Dreieck mit den Eckpunkten 0, F und Q, wobei F der Fuß- punkt des Lotes von Q auf die Gerade {c·P ‡ c * R} ist. Es ist F = P·Q _ P·P P und u F u = P·Q _ P·P · u P u . Mit α bezeichnen wir den Winkel zwischen P (oder F) und Q mit Scheitel 0, das heißt den Winkel ½ P0Q zwischen den Strecken 0P und 0Q. Wenn α kleiner als π _ 2 bzw. 90° ist (also F auf der Halbgeraden von 0 durch P liegt), ist cos( α ) = u F u _ u Q u = P·Q _ P·P u P u _ u Q u = P·Q u P u _ P·P u Q u = P·Q u P u __ u P u 2 · u Q u = P·Q __ u P u · u Q u . Wir können also den Cosinus des Winkels α mit dem Skalarprodukt berechnen: cos( α ) = P·Q __ u P u · u Q u Wenn α größer oder gleich π _ 2 bzw. 90° ist (also F auf der Halbgeraden von 0 durch ‒P liegt), dann definieren wir den Cosinus des Winkels α durch cos( α ) = P·Q __ u P u · u Q u . In diesem Fall ist cos( α ) eine Zahl zwischen 0 und ‒1. Nur wenn α = π _ 2 ist, ist cos( α ) = 0. B B A, B ggb r8d2hy A, B cos( α ) für 0 < α < π _ 2 ó y x 0 Q F P y x ó - P F Q P cos( α ) für π _ 2 < α ª π Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv