Mathematik HTL 2, Schulbuch

164 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 758 Berechne den Fußpunkt des Lotes von (4 1 1) auf die Gerade durch (0 1 0) und (3 1 ‒ 2) und den Abstand von (4 1 1) von dieser Geraden. Der Fußpunkt des Lotes ist (3 1 ‒2)·(4 1 1) __ (3 1 ‒2)·(3 1 ‒2) ·(3 1 ‒ 2) = 10 _ 13 ·(3 1 ‒ 2) = 2 30 _ 13 1 ‒ 20 _ 13 3 . Der Abstand von (4 1 1) zur Geraden {c·(3 1 ‒ 2) ‡ c * R} ist u (4 1 1) – 2 30 _ 13 1 ‒ 20 _ 13 3 u = u 2 22 _ 13 1 33 _ 13 3 u = 11 _ 13 u (2 1 3) u = 11 9 __ 13 _ 13 . 759 Berechne den Fußpunkt des Lotes von (4 1 1 1 2) auf die Gerade durch (0 1 0 1 0) und (3 1 ‒ 2 1 1) und den Abstand von (4 1 1 1 2) zu dieser Geraden. Der Fußpunkt des Lotes ist (3 1 ‒2 1 1)·(4 1 1 1 2) ___ (3 1 ‒2 1 1)·(3 1 ‒2 1 1) ·(3 1 ‒ 2 1 1) = 12 _ 14 ·(3 1 ‒ 2 1 1) = 2 18 _ 7 1 ‒ 12 _ 7 1 6 _ 7 3 , der Abstand von (4 1 1 1 2) von der Geraden {c·(3 1 ‒ 2 1 1) ‡ c * R } ist u (4 1 1 1 2) – 2 18 _ 7 1 ‒ 12 _ 7 1 6 _ 7 3 u = u 2 10 _ 7 1 19 _ 7 1 8 _ 7 3 u = 5 9 __ 21 _ 7 . 760 Berechne den Fußpunkt F des Lotes von (4 1 1) auf die Gerade durch (1 1 2) und (3 1 ‒ 2) und den Abstand von (4 1 1) von dieser Geraden. F liegt auf der Geraden durch (1 1 2) und (3 1 ‒ 2), also gibt es eine reelle Zahl c so, dass F = (1 1 2) + c·((3 1 ‒ 2) – (1 1 2)) = (1 1 2) + c·(2 1 ‒ 4) ist. Die Gerade durch (4 1 1) und F steht normal auf der Geraden durch (1 1 2) und (3 1 ‒ 2), also ist (F – (4 1 1))·(2 1 ‒ 4) = 0. Daher ist 0 = ((1 1 2) + c(2 1 ‒ 4) – (4 1 1))·(2 1 ‒ 4) = (‒ 3 1 1)·(2 1 ‒ 4) + c(2 1 ‒ 4)·(2 1 ‒ 4) = ‒10 + c·20 und c = 1 _ 2 . Der Fußpunkt des Lotes ist somit (1 1 2) + 1 _ 2 ·(2 1 ‒ 4) = (2 1 0). Der Abstand von (4 1 1) von der Geraden durch (1 1 2) und (3 1 ‒ 2) ist daher u (4 1 1) – (2 1 0) u = 9 _ 5. 761 Berechne den Fußpunkt des Lotes von (5 1 ‒ 6) auf die Gerade {c·(3 1 4) ‡ c * R} und den Abstand des Punktes (5 1 ‒ 6) von dieser Geraden. 762 Ermittle den Fußpunkt des Lotes von (2 1 ‒ 3 1 5) auf die Gerade {c·(1 1 3 1 ‒1) ‡ c * R} und den Abstand des Punktes (2 1 ‒ 3 1 5) von dieser Geraden. 763 Bestimme den Fußpunkt des Lotes des Punktes P auf die Gerade g und den Abstand des Punktes von dieser Geraden. a. P = (‒ 2 1 5) und g = {c·(2 1 1) ‡ c * R} c. P = (4 1 3 1 5) und g = {c·(1 1 ‒1 1 1) ‡ c * R } b. P = (‒ 4 1 3) und g = {c·(3 1 ‒1) ‡ c * R} d. P = (5 1 ‒ 2 1 5) und g = {c·(‒ 2 1 2 1 5) ‡ c * R} 764 Berechne den Fußpunkt des Lotes des Punktes P auf die Gerade g und den Abstand des Punktes von dieser Geraden. a. P = (5 1 ‒ 2) und g = {(1 1 2) + c·(‒1 1 0) ‡ c * R} b. P = (6 1 ‒ 5) und g = {(‒ 2 1 5) + c·(0 1 ‒1) ‡ c * R} c. P = (4 1 4 1 1) und g = {(‒1 1 2 1 1) + c·(‒1 1 1 1 0) ‡ c * R } d. P = (‒1 1 4 1 5) und g = {(1 1 2 1 3) + c·(1 1 1 1 ‒1) ‡ c * R} B mcd 92c5ci den Fußpunkt des Lotes auf eine Gerade in der Ebene durch (0 1 0) berechnen B den Fußpunkt des Lotes auf eine Gerade im Raum durch (0 1 0 1 0) berechnen B den Fußpunkt des Lotes auf eine Gerade in der Ebene berechnen B B B B N r zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv