Mathematik HTL 2, Schulbuch

163 5.4 Skalarprodukt und Winkel Ich lerne mithilfe des Skalarprodukts den Fußpunkt des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade zu berechnen. Ich lerne mithilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Halbgeraden zu berechnen. Ich lerne mithilfe des Skalarprodukts geometrische Aufgaben, in denen Abstand und Winkel eine Rolle spielen, zu lösen. Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade Der Fußpunkt des Lotes von einem Punkt Q auf eine Gerade g ist  Q, wenn Q auf der Geraden liegt und  der Punkt F auf der Geraden g mit der Eigenschaft, dass die Gerade durch Q und F auf g normal steht, wenn Q nicht auf der Geraden liegt. Der Abstand von Q zu F ist kleiner als der Abstand von Q zu irgendeinem anderen Punkt von g. Wir nennen daher den Abstand von Q zu F den Abstand des Punktes Q von der Geraden g . Warum ist der Abstand von Q zu F kleiner als der von Q zu einem anderen Punkt B von g? Falls der Punkt Q auf der Geraden g liegt, ist Q = F. Wenn Q und F verschieden sind, hat das Dreieck mit den Eckpunkten Q, F und B einen rechten Winkel bei F. Der Abstand von Q zu B ist die Länge der Hypotenuse, der Abstand von Q zu F ist die Länge einer Kathete dieses Dreiecks. Nach dem Satz von Pythagoras ist die Länge einer Kathete in einem rechtwinkeligen Dreieck immer kleiner als die Länge von dessen Hypotenuse. Also ist der Abstand von Q zu F kleiner als der von Q zu einem anderen Punkt von g. Wenn g eine Gerade durch den Nullpunkt und einen anderen Punkt P ist, dann muss für den Fußpunkt des Lotes F von einem Punkt Q auf g = {c·P ‡ c * R} gelten:  F liegt auf der Geraden g, das heißt, es gibt eine Zahl c mit F = c·P.  Wenn Q ≠ F ist, steht die Gerade durch F und Q normal auf g, das heißt P·(Q – F) = 0. Aus 0 = P·(Q – F) = P·Q – P·F = P·Q – P·(c·P) = P·Q – cP·P folgt c = P·Q _ P·P und F = P·Q _ P·P P. Beachte: Weil P nicht der Nullpunkt ist, ist P·P nicht 0, also dürfen wir durch P·P dividieren. Der Fußpunkt des Lotes von Q auf die Gerade {c·P ‡ c * R} ist P·Q _ P·P P . Ist dir aufgefallen, dass es bei den Überlegungen zum Fußpunkt des Lotes keine Rolle gespielt hat, ob g bzw. Q eine Gerade bzw. ein Punkt der Ebene oder des Raumes ist? Fußpunkt des Lotes y x g Q F Abstand eines Punktes von einer Geraden y x g Q F B Fußpunkt des Lotes Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv