Mathematik HTL 2, Schulbuch

162 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 752 Beweise den Satz von Thales: Sind P und Q zwei von 0 verschiedene Punkte, die von Null denselben Abstand haben, dann hat das Dreieck Q, ‒Q und P bei P einen rechten Winkel. Wir schreiben zuerst an, was wir über die Punkte P und Q wissen: P und Q haben von 0 denselben Abstand, das heißt u P u = u Q u . Dann schreiben wir an, was wir zeigen wollen: Das Dreieck Q, ‒Q und P hat bei P einen rechten Winkel, das heißt (P – Q)·(P + Q) = 0. Nun rechnen wir: (P – Q)·(P + Q) = P·P – Q·P + P·Q – Q·Q = u P u 2 – u Q u 2 . Weil u P u = u Q u ist, ist daher (P – Q)·(P + Q) = 0. 753 A, B, C, D sind die Eckpunkte eines Deltoids, das heißt: u C – B u = u C – D u und u A – B u = u A – D u . a. Zeige, dass aus u C – B u = u C – D u und u A – B u = u A – D u folgt, dass C·B = 1 _ 2 (B·B – D·D + 2C·D) und A·B = 1 _ 2 ·(B·B – D·D + 2·A·D) ist. b. Beweise, dass die Diagonalen des Vierecks (die Strecken AC und BD) Teilmengen der Geraden {A + t·(C – A) ‡ t * R } und {B + t·(B – D) ‡ t * R } sind. c. Verwende die Aufgaben a. und b. , um nachzuweisen, dass die Diagonalen eines Deltoids aufeinander senkrecht stehen. 754 Gegeben sind drei Punkte A, B und C, die denselben Abstand von (0 1 0) haben, also: u A u = u B u = u C u . Wir bezeichnen die Summe A + B + C mit H. a. Zeige, dass die Gerade durch A und H normal auf der Geraden durch B und C steht, das heißt, dass (H – A)·(B – C) = 0 ist. b. Zeige, dass die Gerade durch B und H normal auf der Geraden durch A und C steht und dass die Gerade durch C und H normal auf der Geraden durch A und B steht. c. Versuche zu erklären, warum man H den Höhenschnittpunkt und (0 1 0) den Umkreismittel- punkt des Dreiecks ABC nennt. d. Die Geraden durch einen Eckpunkt des Dreiecks und den Mittelpunkt der Strecke zwischen den anderen zwei Eckpunkten heißt Schwerlinie in diesem Eckpunkt. Zeige, dass die Schwer- linie durch A { A + t 2 1 _ 2 (B + C) – A 3 1 t * R } ist. Schreibe die Schwerlinien durch B und C an. e. Zeige, dass der Punkt 1 _ 3 (A + B + C) ein Punkt aller drei Schwerlinien ist. 2 Hinweis: Wähle in d. t = 2 _ 3 3 . Schließe daraus, dass sich die drei Schwerlinien in diesem Punkt (dem Schwerpunkt) schneiden. f. Verwende die Ergebnisse von a. – e. um zu zeigen, dass der Umkreismittelpunkt, der Schwer- punkt und der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks immer auf einer Geraden liegen. Diese Gerade heißt Eulersche Gerade des Dreiecks. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann die Rechenregeln für das Skalarprodukt anwenden. 755 Berechne das Skalarprodukt durch Anwenden der Rechenregeln. a. ((‒ 3 1 5) – t(‒ 2 1 1))·((2 1 1) + t(0 1 1)) b. ((‒1| 5) + a (5| 3))·((‒1| 3) + a (‒ 2| 1)) 756 Bestimme, für welche reelle Zahl a gilt: ((‒ 2 1 a) + (3 1 5))·(1 1 1) = 0. Ich kann mit dem Skalarprodukt nachrechnen, ob gewisse geometrische Aussagen richtig sind. 757 Begründe: Wenn P – Q und P + Q aufeinander normal stehen, dann sind die Abstände zwischen 0 und P und zwischen 0 und Q gleich. D den Satz von Thales mithilfe des Skalarprodukts beweisen y x P - Q Q D D B B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv