Mathematik HTL 2, Schulbuch

161 5.3 Rechenregeln für das Skalarprodukt 746 Zeige durch „Ausrechnen“: Für je zwei Punkte P und Q der Ebene ist (P + Q)·(P – Q) = P·P – Q·Q. Schließe daraus: Genau dann stehen die Geraden {c·(P + Q) ‡ c * R} und {c·(P – Q) ‡ c * R} auf- einander normal, wenn die Abstände von P und Q zum Nullpunkt gleich sind. 747 Rechne noch einmal Aufgabe 746, aber diesmal für Punkte P und Q des Raumes. Ändert sich dabei etwas? Begründe. 748 Zeige durch Ausrechnen: Für je zwei Punkte P und Q der Ebene ist (P + Q)·(P + Q) = P·P + 2P·Q + Q·Q und (P – Q)·(P – Q) = P·P – 2P·Q + Q·Q. 749 Verwende Aufgabe 748, um zu beweisen: Weil 0 < (P – Q)·(P – Q) ist, ist P·Q < 1 _ 2 (P·P + Q·Q). 750 Bestimme jene Punkte der Geraden {(1 1 1) + c·(‒ 3 1 4) ‡ c * R} , die vom Punkt (1 1 1) den Abstand 10 haben. 751 Gib jene Punkte der Geraden {(‒1 1 2) + c·(5 1 1) ‡ c * R} an, die vom Punkt (4 1 3) den Abstand 4 haben. Beweise geometrischer Sätze mithilfe des Skalarprodukts Wenn sich der Rahmen eines rechteckigen Fensters „verzieht“, dann ist der Fensterrahmen zumeist nur noch ein Parallelogramm (und kein Rechteck mehr). Ein Tischler überprüft, ob ein rechteckiges Fenster verzogen ist, indem er die Diagonalen des Fensters abmisst. Genau dann ist das Fenster nicht verzogen, wenn die zwei Diagonalen gleich lang sind. Dabei wird der folgende Satz der Geometrie verwendet: Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine zwei Diagonalen gleich lang sind. Warum ist das so? Wir können das mithilfe der Rechenregeln für das Skalarprodukt leicht nachweisen: Wir betrachten ein Parallelogramm in der Ebene und wählen ein rechtwinkeliges Koordinatensystem so, dass ein Eckpunkt der Nullpunkt (0 1 0) ist. Die dazu benachbarten Eckpunkte nennen wir P und Q. Dann ist P + Q der vierte Eckpunkt. Die Längen der Diagonalen sind die Abstände zwischen P und Q und zwischen (0 1 0) und P + Q, also u P – Q u und u P + Q u . Beide Zahlen sind nicht negativ, also sind sie genau dann gleich, wenn ihre Quadrate u P – Q u 2 = (P – Q)·(P – Q) und u P + Q u 2 = (P + Q)·(P + Q) gleich sind. Wegen (P – Q)·(P – Q) = P·(P – Q) – Q·(P – Q) = P·P – P·Q – Q·P + Q·Q = P·P – 2P·Q + Q·Q und (P + Q)·(P + Q) = P·P + Q·P + P·Q + Q·Q = P·P + 2P·Q + Q·Q sind (P – Q)·(P – Q) und (P + Q)·(P + Q) genau dann gleich, wenn ‒P·Q = +P·Q, also P·Q = 0 ist. Das ist aber genau dann der Fall, wenn das Parallelogramm mit den Eckpunkten (0 1 0), P, Q und P + Q ein Rechteck ist. Wir können mithilfe des Skalarprodukts auch weitere Sätze der elementaren Geometrie beweisen. D D D D B B y x P + Q Q P (0 1 0) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv