Mathematik HTL 2, Schulbuch

160 5.3 Rechenregeln für das Skalarprodukt Ich lerne die Rechenregeln für das Skalarprodukt anzuwenden. Ich lerne mit dem Skalarprodukt nachzurechnen, ob gewisse geometrische Aussagen richtig sind. Für Zahlenpaare P = (p 1 1 p 2 ) und Q = (q 1 1 q 2 ) bzw. für Zahlentripel P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und Q = (q 1 1 q 2 1 q 3 ) haben wir das Skalarprodukt P·Q = p 1 q 1 + p 2 q 2 bzw. P·Q = p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 definiert. Wir können diese Definition auf n-Tupel erweitern: Für zwei n-Tupel P = (p 1 1 p 2 1 … 1 p n ) und Q = (q 1 1 q 2 1 … 1 q 3 ) heißt die Zahl P·Q = p 1 q 1 + p 2 q 2 + … + p n q n das Skalarprodukt von P und Q . Für das Skalarprodukt gelten die folgenden grundlegenden Rechenregeln: Für alle n-Tupel P, Q, R und alle reellen Zahlen s, gilt: P·Q = Q·P Die Reihenfolge der Faktoren spielt beim Skalarprodukt keine Rolle. P·(sQ + tR) = s(P·Q) + t(P·R) Beim Skalarprodukt kann man wie beim Produkt von Zahlen „ausmultiplizieren“ und „herausheben“. P·P > 0 (für P ≠ 0) Für alle von 0 verschiedenen Zahlentupel P ist P·P eine positive reelle Zahl. Alle drei Rechenregeln können durch direktes Nachrechnen überprüft werden. 741 Berechne einen Punkt auf der Geraden {(1 1 2) + c·(3 1 4) ‡ c * R} , dessen Skalarprodukt mit (1 1 ‒1) gleich 1 ist. Dieser Punkt ist (1 1 2) + t·(3 1 4), wobei die Zahl t so gewählt werden muss, dass (1 1 ‒1)·((1 1 2) + t(3 1 4)) = 1 ist. Durch „ausmultiplizieren“ erhalten wir 1 = (1 1 ‒1)·((1 1 2) + t(3 1 4)) = = (1 1 ‒1)·(1 1 2) + t(1 1 ‒1)·(3 1 4) = ‒1 – t, also ist t = ‒ 2 und der gesuchte Punkt ist (‒ 5 1 ‒ 6). 742 Berechne das Skalarprodukt durch Anwenden der Rechenregeln. a. (1 1 1)·((3 1 1) – t·(1 1 0)) = c. ((‒1 1 2) + 2·(1 1 4))·((1 1 0) + t·(‒ 2 1 3)) = b. (4 1 2)·((‒ 4 1 ‒1) + 2t·(3 1 10)) = d. ((‒1 1 2) – t·(1 1 0))·((2 1 1) + t·(0 1 3)) = 743 Gib an, für welche reelle Zahl t gilt: (1 1 2)·((‒ 3 1 4) + t(‒1 1 ‒1)) = 1. 744 Ermittle, für welche reelle Zahl z gilt: ((‒ 2 1 z) + (3 1 5))·(1 1 1) = 0. 745 Bestimme, für welche reelle Zahl z gilt: ((‒ 3 1 z) + (‒ 5 1 ‒1))·(2 1 ‒1) = 0. Skalarprodukt zweier n-Tupel Rechenregeln für das Skalarprodukt B y 0 x - 6 - 4 - 2 4 6 2 2 4 6 - 4 - 2 - 6 (1 1 -1) (3 1 4) (1 1 2) (-5 1 -6) mcd ax965j mit dem Skalarprodukt rechnen B B B B Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv