Mathematik HTL 2, Schulbuch

16 Quadratische Funktionen Weil die Koeffizienten einer Polynomfunktion eindeutig bestimmt sind, muss 4 = ‒ 2s, also s = ‒ 2 und 5 = s 2 + t = 4 + t, also t = 1 sein. Daher ist x 2 + 4x + 5 = (x + 2) 2 + 1 und wir erhalten den Graphen dieser Funktion, indem wir den von g zeichnen und diesen dann um 2 Einheiten in Richtung der negativen x-Achse und eine Einheit in Richtung der positiven y-Achse verschieben. Tipp Jede quadratische Funktion f können wir in der Form f(x) = a(x – s) 2 + t anschreiben: f(x) = ax 2 + bx + c = a(x – s) 2 + t = ax 2 ‒ 2asx + as 2 + t, dabei muss s = ‒ b _ 2a und as 2 + t = c, also t = ‒ b 2 _ 4a + c sein. Der Funktionswert von f an der Stelle s ist dann f(s) = 0 + t, also t. Daher ist (s 1 t) ein Punkt des Graphen dieser quadratischen Funktion. Die Darstellung einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c als f mit f(x) = a(x – s) 2 + t heißt ihre Scheitelform . Der Punkt (s 1 t) liegt dann auf dem Graphen der quadratischen Funktion f und heißt Scheitel der quadratischen Funktion oder ihres Graphen. Das Umschreiben einer quadratischen Funktion in ihre Scheitelform nennt man auch quadratisch ergänzen , weil (für a = 1) die Zahl x 2 + bx durch Hinzunahme von 2 b _ 2 3 2 zum Quadrat 2 x + b _ 2 3 2 „ergänzt“ wird. Aus x 2 + bx + c wird dann 2 x + b _ 2 3 2 – 2 b _ 2 3 2 + c. Tipp Mithilfe der Scheitelform können wir leicht den Graphen von f mit f(x) = ax 2 + bx + c zeichnen. Wir verschieben zuerst den Graph von g mit g(x) = x 2 um † s † Einheiten in Richtung der positiven bzw. negativen x-Achse, multiplizieren dann die zweite Koordinate jedes Punktes mit a und verschieben diese Menge schließlich um † t † Einheiten in Richtung der positiven bzw. negativen y-Achse. Der Punkt (0 1 0) wird dabei in den Scheitel (s 1 t) verschoben. Für f mit f(x) = a(x – s) 2 + t ist f(s) = a(s – s) 2 + t = a·0 2 + t = t und für jede Zahl z ist f(z) = a(z – s) 2 + t = a(z – s) 2 + f(s). Wenn a positiv ist, dann ist a(z – s) 2 für alle Zahlen z positiv oder 0 (weil das Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann). Das bedeutet: Der Funktionswert f(z) ist größer oder gleich f(s). Daher ist s das Argument mit dem kleinstmöglichen Funktions- wert bezüglich f. Die Funktion f ist auf der Halbgeraden [s; • ) streng monoton wachsend und auf der Halbgeraden (‒ • ; s] streng monoton fallend. Wenn a negativ ist, dann ist a(z – s) 2 für alle Zahlen z negativ oder 0. Das bedeutet: Der Funktionswert f(z) ist kleiner oder gleich f(s). Daher ist s das Argument mit dem größtmöglichen Funktions- wert bezüglich f. Das erklärt die Bezeichnung „Scheitel“ für den Punkt (s 1 t). Die Funktion f ist auf der Halbgeraden [s; • ) streng monoton fallend und auf der Halbgeraden (‒ • ; s] streng mono- ton wachsend. ggb 4ub2aj Scheitelform Scheitel quadratisch ergänzen y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 (s 1 t) s t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv