Mathematik HTL 2, Schulbuch

159 5.2 Rechter Winkel und Skalarprodukt Das Skalarprodukt im Raum Für beliebige Zahlentripel (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und (q 1 1 q 2 1 q 3 ) nennen wir die Zahl p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 das Skalarprodukt von (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und (q 1 1 q 2 1 q 3 ) und schreiben dafür kurz (p 1 1 p 2 1 p 3 )·(q 1 1 q 2 1 q 3 ). Wie für Zahlenpaare können wir auch die Norm eines Zahlentripels und den Abstand zweier Punkte im Raum durch das Skalarprodukt beschreiben: u P u = u (p 1 1 p 2 1 p 3 ) u = 9 ________ p 1 2 + p 2 2 + p 3 2 = 9 ___ P·P und u P – Q u = 9 ________ (P – Q)·(P – Q) Das Dreieck (0 1 0 1 0), (p 1 1 p 2 1 p 3 ), (q 1 1 q 2 1 q 3 ) hat genau dann einen rechten Winkel, wenn gilt: (p 1 1 p 2 1 p 3 )·(q 1 1 q 2 1 q 3 ) = 0 Wir nehmen an, dass P und Q nicht gleich (0 1 0 1 0) sind. Die Geraden durch {c·P ‡ c * R} und {c·Q ‡ c * R } stehen genau dann aufeinander normal, wenn das Dreieck P, Q, (0 1 0 1 0) bei (0 1 0 1 0) einen rechten Winkel hat, also genau dann, wenn P·Q = 0 ist. Wir sagen dann oft kurz, dass P und Q aufeinander normal stehen. 734 Berechne die Skalarprodukt von je zwei der Zahlentripel (1 1 1 1 2), (0 1 0 1 0), (4 1 5 1 6), (‒ 3 1 3 1 ‒ 3) und (‒ 4 1 ‒ 5 1 ‒ 6). 735 Stehen die Geraden durch (0 1 0 1 0) und P und durch (0 1 0 1 0) und Q aufeinander normal? a. P = (2 1 ‒ 5 1 1), Q = (8 1 4 1 4) b. P = (3 1 ‒ 4 1 4), Q = (16 1 16 1 4) c. P = (2 1 4 1 5), Q = (1 1 2 1 ‒ 3) 736 Entscheide, ob die zwei gegebenen Geraden aufeinander normal stehen. a. {(1 1 1 1 1) + c·(2 1 4 1 ‒1) ‡ c * R } und {(0 1 2 1 ‒1) + c·(3 1 ‒1 1 2) ‡ c * R } b. Lösungsmenge des Gleichungssystems x + y – z = 1, x – y + 2z = 0 und Lösungsmenge des Gleichungssystems 2x + 3y – z = 0, x + y + z = 2. 737 Untersuche, ob die Punkte P, Q, R die Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks sind. a. P = (2 1 3 1 1), Q = (‒1 1 4 1 1), R = (1 1 1 1 1) b. P = (0 1 0 1 0), Q = (‒1 1 4 1 1), R = (8 1 3 1 ‒ 4) Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann das Skalarprodukt zweier Zahlenpaare oder zweier Zahlentripel berechnen. 738 Berechne das Skalarprodukt der Zahlenpaare oder Tripel. a. (5 1 3) und (4 1 2) b. (1,5 1 4) und 2 ‒ 2 1 3 _ 4 3 c. (1 1 2 1 4) und (‒ 5 1 ‒ 2 1 3) Ich kann das Skalarprodukt verwenden, um festzustellen, ob zwei Geraden aufeinander normal stehen. 739 Untersuche, ob die Gerade durch (‒1 1 1) und (4 1 ‒1) auf der Geraden durch (3 1 2) und (2 1 ‒ 2) normal steht. 740 Steht die Gerade durch (1 1 0 1 1) und (0 1 0 1 0) auf der Lösungsmenge des Systems linearer Gleichungen x + y = 1, y ‒ z = 2 normal? Skalarprodukt von Tripeln Abstand und Norm mit dem Skalarprodukt darstellen aufeinander normal stehende Geraden durch den Nullpunkt B B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv