Mathematik HTL 2, Schulbuch

158 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 724 Berechne die Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt (1 1 1), die auf der Geraden durch (3 1 ‒ 4) und (2 1 3) normal steht. 725 Stelle die Gerade durch die Punkte A und B in Parameterform und durch einen Normalvektor dar. a. A = (1 1 3), B = (5 1 9) b. A = (‒ 4 1 3), B = (2 1 – 9) 726 Welcher der Normalvektorformen passt zur gegebenen Geraden? Begründe. a. {(1 1 2) + c·(‒1 1 0) ‡ c * R } A {(x 1 y) ‡ x, y * R , x = 2} C {(x 1 y) ‡ x, y * R , y = 2} B {(x 1 y) ‡ x, y * R , x + y = 2} D {(x 1 y) ‡ x, y * R , y = 1} b. {(‒1 1 5) + c·(1 1 2) ‡ c * R } A {(x 1 y) ‡ x, y * R , x – y = 7} C {(x 1 y) ‡ x, y * R , 2x – y = 7} B {(x 1 y) ‡ x, y * R , 2x – y = ‒7} D {(x 1 y) ‡ x, y * R , x + y = ‒7} c. {(0 1 3) + c·(1 1 1) ‡ c * R } A x – y = ‒ 3 C x + y = ‒ 3 B x – y = 3 D x + y = 3 727 Von einem Rechteck kennt man die Eckpunkte B = (5 1 1) und C = (4 1 5). Die Seite AB ist dreimal so lange wie die Seite BC. Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Bestimme die Punkte A und D. 728 Gib alle Normalvektoren auf die Gerade durch (0 1 0) und (6 1 ‒ 8) an, deren Norm a. gleich der von (6 1 ‒ 8), b. doppelt so groß wie die von (6 1 ‒ 8), c. gleich 3 ist. 729 Die Punkte (1 1 1), (4 1 2) und (2 1 5) sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimme die Parameter- darstellung der drei Höhenlinien des Dreiecks. Berechne die Schnittpunkte von je zwei der drei Höhenlinien. Fällt dir dabei etwas auf? Dokumentiere das Ergebnis der Überlegungen. 730 Die Eckpunkte eines Deltoids sind A = (1 1 6), B = (‒ 2 1 4), C = (1 1 0) und D = (x 1 y). Die Punkte A und C sind im Deltoid nicht benachbart. Ermittle die Parameterdarstellungen der Geraden durch A und C, sowie durch B und D. 731 Überprüfe, ob es sich bei den Punkten um die Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks oder gleichschenkeligen Dreiecks handelt. a. (‒1 1 1), (3 1 ‒1), (3 1 4) c. (‒ 0,5 1 ‒ 2), (4 1 ‒1), (2 1 5) b. (‒ 4 1 ‒ 0,5), (1,5 1 ‒ 0,5), (‒ 4 1 4,5) d. (‒ 5 1 1), (1 1 ‒1), (3 1 8) 732 Wähle jeweils 4 Punkte in der Ebene so, dass diese die gegebene Figur bilden. Überprüfe das durch Rechnung und Zeichnung. a. Rechteck b. Quadrat c. Raute d. Parallelogramm e. Deltoid 733 Wir nehmen an, dass P, Q und R Punkte im Raum, also Zahlentripel, sind und dass R der Nullpunkt (0 1 0 1 0) ist. Nach dem Satz von Pythagoras hat das Dreieck mit den paarweise verschiedenen Eckpunkten P, Q und R genau dann einen rechten Winkel bei R, wenn u P – R u 2 + u Q – R u 2 = u P – Q u 2 ist. Bildet Zweiergruppen und zeigt analog zum Fall eines Dreiecks in der Ebene unter der Annahme, dass R = (0, 0, 0) ist: Wenn P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und Q = (q 1 1 q 2 1 q 3 ) ist, dann ist u P u 2 + u Q u 2 = u P – Q u 2 genau dann, wenn p 1 q 1 + p 2 q 2 + p 3 q 3 = 0 ist. B B B, D B B B, C B B, C A D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv