Mathematik HTL 2, Schulbuch

157 5.2 Rechter Winkel und Skalarprodukt Normalvektoren einer Geraden in der Ebene Wie findet man eine Gerade durch (0 1 0), die auf einer gegebenen Geraden {c·(a 1 b) ‡ c * R} normal steht? Die Punkte (x 1 y) dieser Geraden müssen die Bedingung (x 1 y)·(a 1 b) = 0 erfüllen, also Lösungen der durch a und b gegebenen homogenen Gleichung ax + by = 0 sein. Wir wissen aus dem Vorjahr, dass die Lösungsmenge dieser Gleichung die Gerade {c·(‒b 1 a) ‡ c * R} ist. Die Gerade {c·(‒b 1 a) ‡ c * R} steht normal auf der Geraden {c·(a 1 b) ‡ c * R } und allen dazu parallelen Geraden. Die von (0 1 0) verschiedenen Zahlenpaare in {c·(‒b 1 a) ‡ c * R} heißen Normal- vektoren aller zur Geraden {c·(a 1 b) ‡ c * R } parallelen Geraden. Wenn P = (p 1 1 p 2 ) und Q = (q 1 1 q 2 ) zwei verschiedene Punkte der Ebene sind, dann ist {P + c·(Q – P) ‡ c * R} eine Parameterdarstellung der Geraden durch P und Q. Wir wissen aus dem Vorjahr, dass eine implizite Form dieser Geraden, also die Darstel- lung der Geraden als Lösungsmenge einer linearen Gleichung, gleich {(x 1 y) 1 (q 2 – p 2 )x – (q 1 – p 1 )y = (q 2 – p 2 )p 1 – (q 1 – p 1 )p 2 } ist. Schreiben wir N für (q 2 – p 2 , ‒ (q 1 – p 1 )), dann ist {(x 1 y) 1 (q 2 – p 2 )x – (q 1 – p 1 )y = (q 2 – p 2 )p 1 – (q 1 – p 1 )p 2 } = {(x 1 y) ‡ N·(x 1 y) = N·P}. N ist ein Normalvektor der Geraden {c·(Q – P) ‡ c * R }. Statt N hätten wir auch irgendeinen anderen Normalvektor dieser Geraden nehmen können. Wir haben damit eine weitere Möglichkeit kennengelernt, eine Gerade zu beschreiben: Ist N ein Normalvektor der Geraden g durch P und Q, dann ist g = {(x 1 y) ‡ N·(x 1 y) = N·P} eine Normalvektorform der Geraden durch P und Q. 720 Stelle die Gerade durch die Punkte (2 1 ‒ 5) und (1 1 1) in Normalvektor- form dar. (1 1 1) – (2 1 ‒ 5) = (‒1 1 6). Ein Normalvektor hierzu ist N = (6 1 1). Somit ist {(x 1 y) ‡ N·(x 1 y) = N·(2 1 ‒ 5)} = {(x 1 y) ‡ (6 1 1)·(x 1 y) = (6 1 1)·(2 1 ‒ 5)} = = {(x 1 y) ‡ 6x + y = 7} eine Normalvektorform der Geraden durch (2 1 ‒ 5) und (1 1 1). Anstelle von N·(2 1 ‒ 5) = (6 1 1)·(2 1 ‒ 5) = 7 hätten wir auch N·(1 1 1) = (6 1 1)·(1 1 1) = 7 berechnen können. 721 Berechne einen Normalvektor der Geraden {(2 1 4) + c·(3 1 2) ‡ c * R }. 722 Zwei Punkte sind gegeben. Ermittle einen Normalvektor der Geraden durch diese zwei Punkte und eine Gleichung dieser Geraden. a. (‒1 1 2) und (3 1 3) b. (1 1 1) und (4 1 2) c. (‒1 1 ‒ 2) und (‒ 2 1 2) d. (1 1 ‒ 4) und (‒ 4 1 1) 723 Gib einen Normalvektor der Lösungsmenge von 4x + 1 _ 2 y = 2 an. y x (a 1 b) (-b 1 a) Normal- vektoren einer Geraden y x p 1 q 2 p 2 q 1 N Q P Normalvektor- form einer Geraden B ggb 2h77qh eine Gerade in Normalvektor- form darstellen x y 0 - 2 2 4 6 - 2 - 4 2 N (1 1 1) (2 1 - 5) B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv