Mathematik HTL 2, Schulbuch

156 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 711 Entscheide, ob die angegebenen zwei Geraden aufeinander normal stehen. a. {(1 1 3) + c·(‒ 3 1 5) ‡ c * R} und {(3 1 ‒ 2) + c·(10 1 6) ‡ c * R } b. {(7 1 3) + c·(‒ 3 1 5) ‡ c * R} und {(9 1 11) + c·(10 1 6) ‡ c * R } c. {(1 1 3) + c·(4 1 ‒ 2) ‡ c * R} und {c·(1 1 1) ‡ c * R } d. Gerade durch (1 1 2) und (2 1 3) und Gerade durch (3 1 2) und (1 1 0) e. Lösungsmenge der Gleichung 2x + 3y = 1 und Lösungsmenge der Gleichung ‒ 6x + 4y = 7 f. Gerade durch (2 1 ‒ 3) und (‒1 1 4) und Lösungsmenge der Gleichung x + y = 1 712 Berechne die Änderungsrate der linearen Funktion mit Ordinatenabschnitt 0, deren Graph auf dem Graphen der Funktion kx + d normal steht. a. k = 2, d = 0 c. k = ‒1, d = 2 e. k = 1 _ 3 , d = 1 b. k = ‒1, d = 0 d. k = ‒1, d = 23 f. k = ‒ 3, d = ‒7 713 Gegeben sind die Änderungsraten k 1 und k 2 von zwei linearen Funktionen. Entscheide, ob deren Graphen aufeinander normal stehen. a. b. c. d. e. f. k 1 2 ‒ 1 _ 2 2 _ 5 0,25 ‒ 0,3 9 _ 2 k 2 1 _ 2 2 ‒ 2 _ 5 ‒ 4 0,333 ‒ 1 _ 2 9 _ 2 714 Von einem rechtwinkeligen Dreieck ABC kennt man die Eckpunkte A = (x 1 10), B = (‒1 1 ‒1) und C = (5 1 1). Der rechte Winkel befindet sich in C. Berechne A. Da das Dreieck ABC in C einen rechten Winkel hat, muss das Skalarprodukt (B – C)·(A – C) = 0 sein. Wir berechnen: 0 = (B – C)·(A – C) = (‒ 6 1 ‒ 2)·(x – 5 1 9) = ‒ 6·(x – 5) – 2·9 = ‒ 6x + 30 – 18 = ‒ 6x + 12 Also muss ‒ 6x + 12 = 0 sein, daher ist x = 2. Somit ist A = (2 1 10). 715 Von einem Rechteck ABCD kennt man die Eckpunkte B = (6 1 2) und C = (5 1 6). Der Eckpunkt A hat die Koordinaten A = (x 1 ‒1). Berechne die fehlenden Koordinaten von A und D. 716 Von den Eckpunkten eines rechtwinkeligen Dreiecks ABC sind folgende Koordinaten bekannt. Berechne die fehlende Koordinate so, dass der rechte Winkel im Punkt C liegt. Konstruiere das Dreieck auch mit einer DGS und kontrolliere die von dir rechnerisch erhaltene Lösung. a. A = (‒ 3 1 2), B = (x 1 4), C = (‒1 1 8) b. A = (1 1 y), B = (5 1 2), C = (3 1 4) c. A = (3 1 1), B = (5 1 7), C = (4 1 y) (Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.) 717 Von einem Dreieck kennt man die Eckpunkte A = (2 1 ‒1), B = (7 1 2) und C = (4 1 y > 0). Die Seite BC ist 5 cm lang. Ermittle die fehlende Koordinate von C. Da die Seite BC 5 cm lang ist, ist u C – B u = 5 und u C – B u 2 = 25. 25 = u C – B u 2 = u (4 1 y) – (7 1 2) u 2 = u (‒ 3 1 y – 2) u 2 = (‒ 3) 2 + (y – 2) 2 = 9 + y 2 – 4y + 4 Wir müssen also folgende quadratische Gleichung lösen: 9 + y 2 – 4y + 4 = 25 | ‒ 25 y 2 – 4y – 12 = 0 Diese hat die Lösungen 6 und ‒ 2. Da y > 0 sein muss, ist y = 6. Also ist C = (4 1 6). 718 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Eckpunkte A = (‒3 1 1) und B = (2 1 ‒1). Es ist C = (x < 0 1 3,5) und die Seite b = BC ist 7,5cm lang. Ermittle die fehlenden Koordinaten von C und D. 719 Von einem Deltoid ABCD kennt man die Eckpunkte B = (‒ 4 1 7) und D = (8 1 3). Es ist A = (x 1 8) und die Diagonale AC ist 9 __ 250 cm lang. Berechne die fehlenden Koordinaten von A und C. B, C B B B Eckpunkt eines rechtwinkeligen Dreiecks berechnen B B ggb 5y26uy B Eckpunkt eines Dreiecks berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv