Mathematik HTL 2, Schulbuch

155 5.2 Rechter Winkel und Skalarprodukt 704 Mit f bezeichnen wir die lineare Funktion mit Änderungsrate k ≠ 0 und Ordinatenabschnitt 0, es ist also f(x) = k·x. Berechne die Änderungsrate der linearen Funktion mit Ordinatenabschnitt 0, deren Graph auf dem Graphen von f normal steht. Der Graph von f ist {c·(1 1 k) ‡ c * R }. Bezeichnen wir die gesuchte Änderungsrate mit k’, dann muss die Gerade {c·(1 1 k’) ‡ c * R} auf {c·(1 1 k) ‡ c * R} normal stehen, also das Skalarprodukt von (1 1 k) und (1 1 k’) gleich 0 sein. Daher ist 0 = (1 1 k)·(1 1 k’) = 1 + k·k’. Daraus folgt k’ = ‒ 1 _ k . Wir verzichten nun auf die Annahme, dass R der Nullpunkt (0 1 0) ist. Das Dreieck mit den Eckpunkten P = (p 1 1 p 2 ), Q = (q 1 1 q 2 ) und R = (r 1 1 r 2 ) hat genau dann einen rechten Winkel bei R, wenn die Gerade durch P und R und die Gerade durch Q und R aufeinander normal stehen. Zur Erinnerung: Das ist genau dann der Fall, wenn die zu diesen Geraden paralle- len Geraden durch 0, also {c·(P – R) ‡ c * R} und {c·(Q – R) ‡ c * R } aufeinander normal stehen. Das Dreieck mit den Eckpunkten P, Q, R hat bei R genau dann einen rechten Winkel, wenn (P – R)·(Q – R) = 0 ist. 705 Berechne das Skalarprodukt von je zwei der Zahlenpaare (1 1 1), (0 1 0), (4 1 5), (‒ 3 1 3) und (‒ 4 1 ‒ 5). 706 Entscheide, ob die Geraden durch (0 1 0) und P und durch (0 1 0) und Q aufeinander normal stehen. a. P = (2 1 ‒ 4), Q = (8 1 4) c. P = (2 1 ‒ 4), Q = (1 1 2) e. P = (3 1 3), Q = (3 1 6) b. P = (2 1 ‒ 4), Q = (16 1 8) d. P = (3 1 3), Q = (‒ 2 1 2) f. P = (0 1 ‒1), Q = (9 1 0) 707 Gegeben sind zwei Punktepaare. Berechne, ob die Geraden durch die Punktepaare aufeinander normal stehen, und überprüfe dies durch Zeichnung mit einer DGS. a. (‒1 1 1), (2 1 ‒ 3) und (2 1 2), (‒ 2 1 ‒1) c. (‒1 1 3), (4 1 4) und (1 1 5), (2 1 0) b. (1 1 4), (3 1 2) und (4 1 5), (1 1 1) d. (‒ 2 1 2), (4 1 ‒1) und (1 1 4), (‒ 2 1 ‒1) 708 Untersuche, ob die Punkte P, Q, R die Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks sind. a. P = (2 1 3), Q = (‒1 1 4), R = (1 1 1) d. P = (0 1 3), Q = (0 1 4), R = (7 1 4) b. P = (0 1 0), Q = (‒1 1 4), R = (8 1 2) e. P = (2 1 1), Q = (‒ 4 1 ‒ 2), R = (8 1 4) c. P = (1 1 0), Q = (10 1 ‒ 3), R = (7 1 3) f. P = (1 1 1), Q = (5 1 ‒ 3), R = (2 1 2) 709 Berechne, ob die drei Punkte (0,5 1 ‒ 3), (1,5 1 1) und (‒ 0,5 1 1,5) Eckpunkte eines rechtwinkeligen Dreiecks sind, und überprüfe das Ergebnis durch Zeichnung mit einer DGS. 710 Sind die Punkte Eckpunkte einer Raute, eines Parallelogramms, eines Rechtecks oder eines Quadrates? Beantworte zuerst durch Rechnung und überprüfe das Ergebnis dann mithilfe einer DGS. a. (1 1 0), (3 1 4), (‒1 1 1), (1 1 5) c. (‒1 1 ‒1,5), (1 1 ‒ 0,5), (‒ 2,5 1 ‒ 0,5), (‒1 1 0,5) b. (1,5 1 ‒ 0,5), (2,5 1 1,5), (‒1,5 1 ‒ 0,5), (‒ 0,5 1 1,5) d. (0 1 ‒ 2), (1 1 0,5), (‒ 2,5 1 ‒1), (‒1,5 1 1,5) B Änderungsrate aufeinander normal stehen- der Graphen von linearen Funktionen berechnen y x (1 1 k) (-k 1 1) y x P – R Q – R P Q R rechter Winkel im Dreieck ggb cg77yu B B B ggb zg7s9e B, C B, C ggb y4yg3b B, C ggb 3w5a43 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv