Mathematik HTL 2, Schulbuch

154 5.2 Rechter Winkel und Skalarprodukt Ich lerne das Skalarprodukt zweier Zahlenpaare oder zweier Zahlentripel zu berechnen. Ich lerne das Skalarprodukt zu verwenden, um festzustellen, ob zwei Geraden aufeinander normal stehen. Das Skalarprodukt in der Ebene Nach dem Satz von Pythagoras hat das Dreieck mit paarweise verschiedenen Eckpunkten P, Q und R genau dann einen rechten Winkel bei R, wenn u P – R u 2 + u Q – R u 2 = u P – Q u 2 ist. Was bedeutet das für die Koordinaten von P, Q und R? Wir nehmen zunächst der Einfachheit halber an, dass P, Q und R Zahlenpaare (nicht Zahlentripel) sind und dass R der Nullpunkt (0 1 0) ist. Wenn P = (p 1 1 p 2 ) und Q = (q 1 1 q 2 ) ist, dann ist u P u 2 + u Q u 2 = u P – Q u 2 genau dann, wenn p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 = (p 1 – q 1 ) 2 + (p 2 – q 2 ) 2 ist. Wegen (p 1 – q 1 ) 2 + (p 2 – q 2 ) 2 = p 1 2 + p 2 2 + q 1 2 + q 2 2 – 2(p 1 q 1 + p 2 q 2 ) ist das genau dann der Fall, wenn p 1 q 1 + p 2 q 2 = 0 ist. Für beliebige Zahlenpaare (p 1 1 p 2 ) und (q 1 1 q 2 ) nennen wir die Zahl p 1 q 1 + p 2 q 2 das Skalarprodukt von P = (p 1 1 p 2 ) und Q = (q 1 1 q 2 ) und schreiben dafür kurz (p 1 1 p 2 )·(q 1 1 q 2 ) . Das Dreieck (0 1 0), (p 1 1 p 2 ), (q 1 1 q 2 ) hat genau dann einen rechten Winkel bei (0 1 0), wenn (p 1 1 p 2 )·(q 1 1 q 2 ) = 0 ist. Beispiele:  Das Skalarprodukt von (1 1 2) und (3 1 4) ist (1 1 2)·(3 1 4) = 1·3 + 2·4 = 11.  Das Skalarprodukt von (1 1 0) mit (a 1 b) ist (1 1 0)·(a 1 b) = a. Auch die Norm eines Zahlenpaares und den Abstand zwischen zwei Punkten können wir durch das Skalarprodukt beschreiben: u P u = u (p 1 1 p 2 ) u = 9 _____ p 1 2 + p 2 2 = 9 ________ (p 1 1 p 2 )·(p 1 1 p 2 ) = 9 ___ P·P und u P – Q u = u (p 1 1 p 2 ) – (q 1 1 q 2 ) u = 9 _________________ (p 1 – q 1 , p 2 – q 2 )·(p 1 – q 1 , p 2 – q 2 ) = 9 ________ (P – Q)·(P – Q) Wir können das Skalarprodukt daher als „Oberbegriff“ für Abstand und rechten Winkel auffassen. Wir nehmen an, dass P und Q nicht gleich (0 1 0) sind. Die Geraden {c·P ‡ c * R} und {c·Q ‡ c * R} stehen genau dann aufeinander normal, wenn das Dreieck P, Q, (0 1 0) bei (0 1 0) einen rechten Winkel hat, wenn also P·Q = 0 ist. Wir sagen dann oft kurz, dass P und Q aufeinander normal stehen. Q P R y x Q P R y x Skalarprodukt Abstand und Norm mit dem Skalarprodukt darstellen y x P Q (0 1 0) aufeinander normal stehende Geraden durch den Nullpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv