Mathematik HTL 2, Schulbuch

152 Skalarprodukt, Abstand und Winkel 683 Untersuche rechnerisch und graphisch, ob die Punkte eine Raute oder ein Parallelogramm bilden. a. (‒1 1 0), (2 1 0), (3 1 3), (0 1 3) c. (2,5 1 ‒1,5), (3 1 3), (‒1 1 2), (‒1,5 1 ‒ 2,5) b. (‒1,5 1 ‒ 2,5), (4 1 0), (3 1 4,5), (‒ 2 1 3) d. (‒1 1 ‒1), (2 1 3), (2 1 8), (‒1 1 4) 684 Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte eine Raute oder ein Parallelogramm bilden. Zeichne die Punkte dann mithilfe einer DGS und überprüfe die Ergebnisse. a. (1 1 1), (3,5 1 4,5), (‒1 1 2), (1,5 1 5,5) c. (2 1 ‒1), (1 1 1), (‒1 1 ‒ 2), (‒ 2 1 0) b. (0 1 1), (1 1 3), (‒ 2 1 0), (‒1 1 2) d. (2 1 ‒1), (1 1 2), (‒ 4 1 1), (‒ 2 1 3) 685 Gib 5 Punkte an, die vom Punkt (1 1 1) den Abstand 4 haben. 686 Von einem Parallelogramm ABCD kennt man die Punkte A = (‒ 2 1 ‒ 5) und D = (1 1 2), sowie den Schnittpunkt der Diagonalen M = (4 1 0). Berechne die Koordinaten von B und C, sowie den Umfang des Parallelogramms. 687 Arbeite mit einer DGS. Wähle 4 Punkte A, B, C, D der Ebene so, dass sie eine Raute bilden und überprüfe die Richtigkeit, indem du mit der DGS die Seitenlängen berechnest und überprüfst, ob B – A = C – D und C – B = D – A ist. 688 Finde mithilfe einer DGS 6 Punkte die von (0 1 0) den Abstand 4 haben und ordne sie so an, dass sie paarweise, ebenso den Abstand 4 haben. Prüfe durch Rechnung. Welche Figur ist entstanden? Abstand zwischen Punkten im Raum Wenn wir im Raum ein rechtwinkeliges Koordinatensystem wählen, werden seine Punkte durch Zahlentripel dargestellt. Mithilfe des Satzes von Pythagoras können wir uns wieder überlegen: Der Abstand zwischen zwei Punkten P = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und Q = (b 1 1 b 2 1 b 3 ) ist u P – Q u = 9 _________________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 + (b 3 – a 3 ) 2 , also die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Differenzen ihrer Komponenten. Den Abstand zwischen einem Punkt (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und dem Nullpunkt (0 1 0 1 0) nennen wir auch die Norm des Zahlentripels (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und schreiben einfach u (a 1 1 a 2 1 a 3 ) u anstatt u (a 1 1 a 2 1 a 3 ) – (0 1 0 1 0) u . Zwei Zahlenpaare oder Zahlentripel sind einander also dann „nahe“, wenn die Summe der Quad- rate der Differenzen ihrer Komponenten klein ist. Wenn n größer als 3 ist, können wir uns n-Tupel nicht mehr geometrisch vorstellen. Wir können aber die Begriffe „Abstand“ und „einander nahe sein“ einfach auf n-Tupel übertragen: Der Abstand zwischen zwei n-Tupeln A = (a 1 1 a 2 1 … 1 a n ) und B = (b 1 1 b 2 1 … 1 b n ) ist die Zahl u A – B u = 9 ______ ; i = 1 n (b i – a i ) 2 = 9 ___________________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 + … + (b n – a n ) 2 , also die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Differenzen der Komponenten von a und b. Zwei n-Tupel A und B sind einander also umso näher, je kleiner die Zahl ; i = 1 n (b i – a i ) 2 ist. B B ggb c583sm A B B B, C z y x b 2 b 1 a 1 a 2 b 3 a 3 P Q b 3 – a 3 (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 öäääääääääääääääääääääääääääääääää# (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 + (b 3 – a 3 ) 2 öääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääääää# b 2 – a 2 b 1 – a 1 (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 öäääääääääääääääääääääääääääääääää# Abstand zwischen zwei Punkten im Raum Norm eines Zahlentripels Abstand zwischen zwei n-Tupeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv