Mathematik HTL 2, Schulbuch

151 5.1 Abstand zwischen Punkten in der Ebene und im Raum Wegen 9 ___________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 = 9 ___________ (a 1 – b 1 ) 2 + (a 2 – b 2 ) 2 ist u (b 1 1 b 2 ) – (a 1 1 a 2 ) u = u (a 1 1 a 2 ) – (b 1 1 b 2 ) u . Berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten, kommt es auf die Reihenfolge nicht an. Beispiel: u (‒ 3 1 2) – (4 1 5) u = 9 __________ (‒ 3 – 4) 2 + (2 – 5) 2 = 9 __ 58 = 9 ___________ (4 – (‒ 3)) 2 + (5 – 2) 2 = u (4 1 5) – (‒ 3 1 2) u Für jede reelle Zahl t ist u t·(b 1 1 b 2 ) – t·(a 1 1 a 2 ) u = u (tb 1 1 tb 2 ) – (ta 1 1 ta 2 ) u = 9 _____________ (tb 1 – ta 1 ) 2 + (tb 2 – ta 2 ) 2 = = 9 _____________ t 2 (b 1 – a 1 ) 2 + t 2 (b 2 – a 2 ) 2 = † t † · 9 ___________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 = = † t † · u (b 1 1 b 2 ) – (a 1 1 a 2 ) u . Dabei ist † t † der Betrag der Zahl t. Der Abstand zwischen dem t-Fachen der Punkte ist also das 1 t 1 -Fache des Abstandes zwischen den Punkten. Insbesondere ist u (a 1 1 a 2 ) u = u ‒ (a 1 1 a 2 ) u . 677 Berechne den Abstand zwischen den Punkten A = (1 1 ‒ 4) und B = (6 1 8), sowie zwischen den Punkten 3·A und 3·B. Berechne die Norm von ‒7·B. Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist u B – A u = u (6 1 8) – (1 1 ‒ 4) u = 9 __________ (6 – 1) 2 + (‒ 8 – 4) 2 = 13. Der Abstand zwischen den Punkten 3·A und 3·B ist das Dreifache des Abstandes zwischen den Punkten A und B, also u 3·B – 3·A u = 3· u B – A u = 3·13 = 39. Die Norm von B ist u B u = 9 ____ 6 2 + 8 2 = 10, die Norm von ‒7·B ist daher u ‒7·B u = 7· u B u = 7·10 = 70. 678 Berechne die Norm des Zahlenpaares. a. (3 1 4) b. 2 1 _ 3 1 1 _ 4 3 c. (‒ 3 1 4) d. 2 4 _ 5 1 3 _ 5 3 e. 2 4 _ 5 1 ‒ 3 _ 5 3 f. (1 1 1) g. (12 1 5) 679 Ermittle den Abstand zwischen den Punkten. Zeichne die Punkte in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und überprüfe das Ergebnis durch Messung. a. (1 1 1) und (1 1 7) c. (2 1 2) und (1 1 7) e. (2 1 ‒ 2) und (‒1 1 3) b. (2 1 2) und (4 1 5) d. (2 1 2) und (1 1 ‒7) f. (‒1 1 ‒ 3) und (2 1 2) 680 Gib den Abstand zwischen den Punkten an. Zeichne die Punkte in ein rechtwinkeliges Koordinatensystem und überprüfe das Ergebnis durch Zeichnung in einer DGS. a. (1 1 2) und (4 1 1) c. (‒1 1 ‒ 2) und (4 1 ‒ 3) e. (0,5 1 ‒0,75) und (‒0,25 1 2,5) b. (‒ 2 1 ‒1) und (1 1 4) d. (‒ 0,5 1 ‒ 0,5) und (2,5 1 0,5) f. (‒4 1 9) und (‒5 1 ‒10,5) 681 Bestimme die Abstände zwischen je zwei der vier Punkte (‒ 2 1 ‒1), (3 1 ‒ 2), (‒ 2 1 1) + (3 1 3), (3 1 ‒ 2) + (3 1 3). Zeichne diese vier Punkte. Begründe, warum sie ein Parallelogramm bilden. 682 Zeichne die Punkte (1 1 2), 4·(1 1 2), (3 1 1). a. Berechne den Abstand zwischen (1 1 2) und (3 1 1). b. Gib den Schnittpunkt S der Geraden durch (0 1 0) und (3 1 1) mit der Geraden durch 4·(1 1 2), die zu der durch (3 1 1) und (1 1 2) parallel ist, an. c. Ermittle den Abstand zwischen S und (0 1 0) sowie den zwischen 4·(1 1 2) und S. Hätte diese Aufgabe auch mit dem Strahlensatz gelöst werden können? Begründe. B mcd/tns 57v48n Abstand und Norm berechnen B B B ggb a5d9er B B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv