Mathematik HTL 2, Schulbuch

150 5.1 Abstand zwischen Punkten in der Ebene und im Raum Ich lerne den Abstand zweier Punkte in der Ebene oder im Raum zu berechnen. Ich lerne den Abstand von zwei n-Tupeln zu berechnen. Abstand zwischen Punkten in der Ebene Wir erinnern uns: In der Ebene ein rechtwinkeliges Koordinatensystem wählen heißt  zwei Geraden (die Koordinatenachsen ) so wählen, dass sie aufeinander normal stehen, und  auf jeder Geraden je einen Punkt so wählen, dass die Abstände dieser Punkte zum Nullpunkt (so nennen wir den Schnittpunkt der Geraden) gleich sind. Dieser Abstand ist dann der Einheitsabstand 1. Jeder Punkt der Ebene kann dann eindeutig durch ein Zahlenpaar dargestellt werden. Wir werden im Weiteren einen Punkt und dieses Zahlenpaar nicht unterscheiden. Wenn wir zwei Geraden, die aufeinander normal stehen, parallel verschieben, dann stehen die verschobenen Geraden wieder aufeinander normal. Wir betrachten drei paarweise verschiedene Punkte (a 1 1 a 2 ), (b 1 1 a 2 ) und (b 1 1 b 2 ). Dann ist die Gerade durch (a 1 1 a 2 ) und (b 1 1 a 2 ) zur ersten Koordinatenachse parallel und die Gerade durch (b 1 1 a 2 ) und (b 1 1 b 2 ) zur zweiten Koordinatenachse parallel. Insbesondere stehen diese Geraden aufeinander normal, somit ist das Dreieck mit den Eckpunkten (a 1 1 a 2 ), (b 1 1 a 2 ), (b 1 1 b 2 ) rechtwinkelig. Die Länge der Strecke zwischen den Punkten (a 1 1 a 2 ) und (b 1 1 a 2 ) ist † b 1 – a 1 † und die der Strecke zwischen den Punkten (b 1 1 a 2 ) und (b 1 1 b 2 ) ist † b 2 – a 2 † . Aus dem Satz von Pythagoras folgt nun, dass die Länge der Strecke zwischen den Punkten (a 1 1 a 2 ) und (b 1 1 b 2 ) gleich 9 ___________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 ist. Wir nennen die Zahl 9 ___________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 den Abstand zwischen den Punkten (a 1 1 a 2 ) und (b 1 1 b 2 ) und schreiben dafür u (b 1 1 b 2 ) – (a 1 1 a 2 ) u = 9 ___________ (b 1 – a 1 ) 2 + (b 2 – a 2 ) 2 . Den Abstand eines Punktes zu sich selbst legen wir als die Zahl 0 fest. Den Abstand zwischen einem Punkt (a 1 1 a 2 ) und dem Nullpunkt (0 1 0) nennen wir auch die Norm des Zahlenpaares (a 1 1 a 2 ) und schreiben einfach u (a 1 1 a 2 ) u anstatt u (a 1 1 a 2 ) – (0 1 0) u . 676 Berechne den Abstand zwischen den Punkten (2 1 3) und (‒1 1 1) und die Norm von (‒ 3 1 4). Der Abstand zwischen (2 1 3) und (‒1 1 1) ist u (‒1 1 1) – (2 1 3) u = 9 __________ (‒1 – 2) 2 + (1 – 3) 2 = 9 ___ 9 + 4 = 9 __ 13. Die Norm von (‒ 3 1 4) ist u (‒ 3 1 4) u = 9 ____ 9 + 16 = 5. (b 1 1 b 2 ) (a 1 1 a 2 ) (b 1 1 a 2 ) y x a 1 a 2 b 2 b 1 Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene Norm eines Zahlenpaares B mcd/tns f2zs85 den Abstand zwischen zwei Punkten in der Ebene berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv