Mathematik HTL 2, Schulbuch

15 1.2 Graphen quadratischer Funktionen 31 Gib die Funktion f mit f(x) = ax 2 + c an, deren Graph abgebildet ist. a. c. e. b. d. f. Quadratisches Ergänzen und der Graph von f mit f(x) = ax 2 + bx + c Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion mit Grad 2. Wir schreiben quadratische Funktionen zumeist in der Form f mit f(x) = ax 2 + bx + c an, dabei sind a, b, c reelle Zahlen und a ist nicht 0. Wir haben uns bereits überlegt, wie man den Graphen von f zeichnen kann, wenn b = 0 ist. Für den Graphen von f mit f(x) = ax 2 + bx + c brauchen wir noch zwei Vorüberlegungen. Wenn s eine reelle Zahl ist, dann ist der Graph von h mit h(x) = (x – s) 2 die Menge {(z 1 (z – s) 2 ) ‡ z * R} . Schreiben wir v für z – s, dann ist z = v + s und {(z 1 (z – s) 2 ) ‡ z * R } = {(v + s 1 v 2 ) ‡ v * R } = {(v 1 v 2 ) + (s 1 0) ‡ v * R }. Diese Menge erhalten wir, indem wir zu jedem Punkt des Graphen von g mit g(x) = x 2 den Punkt (s 1 0) addieren. Das bedeutet: Den Graphen von h mit h(x) = (x – s) 2 erhalten wir, indem wir den Graphen von g mit g(x) = x 2 um † s † Einheiten in Richtung der positiven oder negativen x-Achse verschieben, je nachdem, ob s positiv oder negativ ist. Wie sieht der Graph von f mit f(x) = x 2 + 4x + 5 aus? Wir können die Graphen von quadratischen Funktionen der Form (h + t)(x) = (x – s) 2 + t schon zeichnen: Wir verschieben den Graphen von g mit g(x) = x 2 um † s † Einheiten in Richtung der positiven bzw. negativen x-Achse und um † t † Einheiten in Richtung der positiven bzw. negativen y-Achse. Daher suchen wir nun Zahlen s und t so, dass x 2 + 4x + 5 = (x – s) 2 + t = x 2 ‒ 2sx + s 2 + t ist. A Aufgaben 6ik8dx y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 y x 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 quadratische Funktion y x 0 - 2 -1 1 2 3 - 3 1 2 3 4 6 5 -1 (x – 2) 2 (x + 2) 2 Graph von h mit h(x) = (x – s) 2 0 x y 1 -1 2 3 5 6 4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 S Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv