Mathematik HTL 2, Schulbuch

148 Zusammenfassung: Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 668 Um in einem exklusiven Fitnessclub Mitglied zu werden, muss man von einem bestehenden Mit- glied empfohlen werden und darf dann nach einer Wartezeit von einem Monat selbst Mitglied werden. Derzeit sind nur 40 Mitglieder vorgemerkt, die pro Monat auch nur 2 Empfehlungen abgeben dürfen. a. Modelliere die Entwicklung der Anzahl der Clubmitglieder mithilfe einer Differenzen- gleichung. b. Berechne die ersten 5 Glieder der Lösung dieser Differenzengleichung. c. Ermittle, wann nach diesem Modell der Club 1 500 Mitglieder hat. 669 Amelie hat 2800€ auf ihrem Sparbuch. Berechne, wie lange sie noch warten muss, bis sich das Kapital auf 3000€ vermehrt hat, wenn das Sparbuch mit 2,75% p.a. verzinst ist. 670 Das rekursive Bildungsgesetz einer geometrischen Folge lautet: a 0 = 10, a n + 1 = a n ·3. a. Berechne die Summe der ersten 12 Folgenglieder. b. Berechne die Summe der ersten n Folgenglieder. 671 Elias möchte etwas für seine Fitness tun und beginnt mit einem Lauftraining. Sein Plan ist es, am ersten Tag 20 Minuten durchzulaufen und die von ihm gelaufene Zeit täglich um 10% zu steigern. a. Stelle die Folge, die jedem Tag die an diesem Tag gelaufene Zeit zuordnet, rekursiv und in expliziter Form dar. b. Berechne, am wievielten Tag Elias erstmals länger als eine Stunde lang läuft. c. Bestimme die bis zum n-ten Tag insgesamt gelaufene Zeit und berechne dann, wie lange Elias in den ersten vier Wochen insgesamt läuft. d. Argumentiere, warum Elias sein geplantes Trainingsprogramm auf lange Sicht unmöglich erfüllen kann. 672 Anne hat ein Sparbuch mit einer Verzinsung von 1,5% pro Jahr. Zu Beginn jedes Jahres zahlt sie 1 000€ auf das Sparbuch ein. Beschreibe diese Situation mithilfe einer Differenzengleichung, und gib die ersten 5 Glieder ihrer Lösung an. 673 Von einer Zahlenfolge sind jeweils die ersten 5 Glieder angegeben. Entscheide, ob es sich dabei um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handeln könnte. Wenn ja, dann gib das n-te Folgeglied in expliziter Form an. Wenn nicht, dann begründe. a. k 4, 2, 1, 1 _ 2 , 1 _ 4 , … l c. k 2, 1, 4, 7, 10, … l e. k 4, 3, 2, 0, ‒1, … l b. k 0, 1, 2, 0, 1, 2, … l d. k 1 _ 2 , 2, 7 _ 2 , 5, 13 _ 2 , … l f. k 1, 2, 4, 8, 16, … l 674 Felix trainiert für einen Gedächtniswettbewerb. Dabei muss er sich Gegenstände in einer bestimmten Reihenfolge merken. Er beginnt zunächst mit 5 Gegenständen und steigert die Anzahl der Gegenstände jede Woche um 3 weitere. a. Gib an, wie viele Gegenstände sich Felix in den ersten 10 Wochen des Trainings jeweils merken muss. b. Wenn das Training erfolgreich ist, wann kann sich Felix erstmals 50 Gegenstände merken? 675 Nach 2 Jahren und 4 Monaten ist ein Anfangskapital bei einer Verzinsung von 4,25% p.a. auf 112546,13€ angewachsen. Berechne das Anfangskapital. A, B B B A, B, D A, B A, C, D A, B B Nu zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv