Mathematik HTL 2, Schulbuch

147 Zusammenfassung: Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 662 Von einer geometrischen Folge kennt man ein Folgenglied und den Quotienten q. Berechne das Anfangsglied und die ersten 5 Glieder der Folge. a. a 0 = 2; q = 3 b. a 4 = 4; q = 2 c. a 12 = 1 _ 4 ; q = 1 _ 2 d. a 10 = ‒177147; q = 3 663 Auf einer abgeschiedenen Insel werden 10 Kaninchen ausgesetzt. Da sie auf dieser Insel keine natürlichen Feinde haben, wächst ihre Anzahl pro Monat um 20%. a. Nimm zunächst an, dass die Anzahl y der Kaninchen ungebremst wächst. Bestimme die Folge, deren n-tes Glied die die Anzahl der Kaninchen nach n Monaten ist. b. Man vermutet, dass der Platz und das Nahrungsangebot auf dieser Insel für maximal 8000 Kaninchen ausreichen. Nimm daher an, dass die Anzahl der Kaninchen logistisch wächst. Wie lautet die Wachstumsfolge k K _ 1 + c·q t l , die die Anzahl nach t Monaten angibt? Hinweis: Berechne die Zahlen c und q so, dass die Folge die Anzahl der Kaninchen zu Beginn und nach einem Monat korrekt wiedergibt. c. Nach wie vielen Monaten erreicht die Kaninchenanzahl 99% der Kapazitätsgrenze? d. Stelle die Graphen der in a. und b. berechneten Folgen in einem gemeinsamen Koordinaten- system dar. Nach wie vielen Monaten unterscheiden sich die beiden Modelle erstmals deutlich voneinander? 664 Bestimme die ersten zehn Folgenglieder von k (‒1) n · 1 __ (2n + 1) 2n + 3 l mithilfe eines geeigneten Programms. 665 In einem Email wird für ein neuartiges Spiel geworben. Um am Spiel teilzunehmen schenkt man einer namentlich angeführter Person 50€. Dann fordert man selbst 3 Freunde auf, am Spiel teilzu- nehmen, und diese 3 fordern wieder 3 Freunde zum mitzumachen auf und so fort. So bekommt man selbst von den 27 Teilnehmern der dritten Runde jeweils 50€. a. Wie viel Geld kann man erwarten, wenn man sich an diesem Spiel beteiligt? b. Wie viele Teilnehmer müssen gefunden werden, damit die Spieler der dritten Runde ebenso ihr Geld bekommen? c. Solche und ähnliche Systeme gibt es immer wieder. Meist wird mit höheren Beträgen geworben und auch mit einer höheren Anzahl an Spielern. Wie sieht es aus, wenn der Einsatz 100 Euro beträgt und man selbst 10 Freunde einbinden soll. Das Geld aber erst in der vierten Runde bezahlt wird? Wie viel Geld hat man zu erwarten? Wie viel Spieler müssen teilnehmen, damit die Spieler der vierten Runde bezahlt werden? d. Diese Systeme sind als Pyramidenspiele bekannt und gesetzlich verboten. Recherchiert im Internet, welche Angebote diesbezüglich gemacht werden und wurden. Diskutiert, wer in einem solchen Pyramidenspiel profitiert und wie man sich am besten schützt. 666 Ein Kapital von 25000 Euro wird auf ein mit 4,5% verzinstes Sparbuch gelegt. a. Wie groß ist das Kapital nach 5 Jahren? b. Wie lange dauert es, bis das Kapital auf 100000 Euro angewachsen ist? 667 Vier Geschwister teilen Großmutters Mitbringsel von 120 Gummibären auf. Dabei erhält das älteste Geschwisterkind doppelt so viele wie das zweitälteste, dieses wieder doppelt so viel wie das drittälteste und dieses doppelt so viele wie das jüngste. Ermittle, wie viele Gummibären jeder erhält. B A, B, C B A, B, D B A, B ggb nb54bk Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv