Mathematik HTL 2, Schulbuch

145 Zusammenfassung: Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Wenn wir einen Vorgang durch die Differenzengleichung y t + 1 = (1 – r)·y t + r·K und y 0 = a (für reelle Zahlen r, K und a) beschreiben, haben wir beschränktes Wachstum angenommen. Art des Modells diskret (Folge) n * N kontinuierlich (Funktion mit Definitionsbereich R ) t * R linear (k, a * R ) k kn + a l f(t) = k·t + a, k, a * R exponentiell (a, c * R + ) k a·c n l f(t) = a·c t beschränkt (b, c, K * R , 0 < c < 1, b > 0, K Kapazitätsgrenze) k K·(1 – b·c n ) l f(t) = K·(1 – b·c t ) Wenn wir einen Vorgang durch die Differenzengleichung y n + 1 = r· 2 K – y n _ K 3 ·y n + y n und y 0 = a beschreiben, dann haben wir logistisches Wachstum angenommen. Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. so angelegt, dass es jedes Jahr um die Zinsen vergrößert wird, dann ist das Kapital nach n Jahren gleich K n = K 0 ·q n . K 0 heißt das Anfangskapital oder der Barwert , K n das Endkapital oder der Endwert (nach n Jahren) und q = 1 + p _ 100 ist der Aufzinsungsfaktor . Wenn die Zinsperiode der m-te Teil eines Jahres ist, spricht man von unterjähriger Verzinsung und schreibt i m für den entsprechenden Zinssatz. Das so verzinste Anfangskapital K 0 hat nach einem Jahr den Endwert K 0 ·(1 + i m ) m . Der effektive Jahreszinssatz oder kurz Effektivzinssatz i eff ist der jährliche Zinssatz, der zu demselben Endwert führen würde, also: 1 + i eff = (1 + i m ) m . Das m-Fache m·i m von i m heißt nomineller Jahreszinssatz oder kurz Nominalzinssatz . Zwei Zinssätze i m und i t (dabei sind m und t positive ganze Zahlen) sind äquivalent , wenn sie dem gleichen Effektivzinssatz entsprechen, also wenn (1 + i m ) m = (1 + i t ) t ist. y n n beschränktes Wachstum logistisches Wachstum y n n Zinseszins- formel unterjährige Verzinsung Effektivzinssatz Nominal- zinssatz äquivalente Zinssätze Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv