Mathematik HTL 2, Schulbuch

144 Zusammenfassung Eine Folge in R oder eine Folge von reellen Zahlen ist eine Funktion von N nach R . Der Funktionswert f(n) der natürlichen Zahl n heißt dann das n-te Folgenglied oder das Folgen- glied mit Index n . Anstatt f(n) schreiben wir für das n-te Folgenglied oft f n . Für die Folge f: N ¥ R , n ¦ f n schreiben wir kurz einfach k f n l oder k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , …, f n , … l . Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind Zahlen c und a, sowie eine Folge k h n l . Gesucht ist eine explizite Form einer Folge k y n l mit den Eigenschaften y 0 = a und für alle natürlichen Zahlen n ist y n + 1 = c · y n + h n . Eine solche Folge heißt Lösung der Differenzengleichung. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz: „Löse die Differenzengleichung y n + 1 = cy n + h n mit y 0 = a“. Die Folge k c n a + c n – 1 h 0 + c n – 2 h 1 + … + ch n – 2 + h n – 1 l ist die eindeutig bestimmte Lösung dieser Differenzengleichung. Die arithmetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d ist die Folge k a, a + d, a + 2d, a + 3d, … , a + nd, … l = k a + nd l . Diese Folge ist die Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = y n + d mit y 0 = a. Die Summe der ersten n + 1 Glieder dieser Folge ist ; k = 0 n (a + kd) = (n + 1)·a + d·n· n + 1 _ 2 . Die geometrische Folge mit Anfangsglied a ≠ 0 und Quotient q ist die Folge k a, a·q 1 , a·q 2 , a·q 3 , …, a·q n , … l = k a·q n l . Diese Folge ist die Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = qy n mit y 0 = a. Wenn q ≠ 1 ist, ist die Summe der ersten n + 1 Glieder dieser Folge gleich ; k = 0 n (a·q k ) = a· q n + 1 – 1 __ q – 1 . Wenn wir einen Vorgang durch die Differenzengleichung y n + 1 = y n + k mit y 0 = a beschreiben, haben wir lineares Wachstum , wenn k > 0 ist, bzw. lineare Abnahme, wenn k < 0 ist, angenommen. Wenn wir einen Vorgang durch die Differenzengleichung y n + 1 = c·y n mit y 0 = a beschreiben, haben wir exponentielles Wachstum , wenn c > 1 ist, bzw. exponentielle Abnahme, wenn c < 1 ist, angenommen. Folge reeller Zahlen lineare Differenzen- gleichung erster Ordnung arithmetische Folge geometrische Folge y n n lineares Wachstum y n n exponentielles Wachstum Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv