Mathematik HTL 2, Schulbuch

140 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Unterjährige Verzinsung Tobias möchte sich ein teures Mountainbike kaufen, hat aber nicht das Geld dazu. In der Zeitung findet er eine Annonce: „Günstige Privatkredite! Nur 2% p.m. Zinsen!“ Ist das wirklich ein günstiges Angebot, rasch zum Mountainbike zu kommen? Vorsicht, Tobias! Die Verzinsungsperiode ist hier nicht ein Jahr, sondern ein Monat! Die Abkürzung p.m. bedeutet pro Monat . Wenn sich Tobias K 0 € für ein Jahr ausleiht, dann muss er nach einem Jahr K 0 ·1,02 12 ≈ 1,27·K 0 € zurückzahlen. Das entspricht einem Zinssatz von 27% p.a.! Diesen Zinssatz p.a. nennt man den Effektivzinssatz . Um ein Zinsgeschäft richtig einschätzen zu können, ist die Berechnung des Effektivzinssatzes von großer Bedeutung. Wenn die Zinsen mehrmals im Jahr (halbjährlich, vierteljährlich, monatlich) berechnet und zum Kapital hinzugerechnet werden, hat man mehrere Verzinsungsperioden pro Jahr. Man verwendet weiterhin die Zinseszinsformel K n = K 0 ·q n , allerdings bezeichnet n jetzt nicht mehr die Anzahl der Jahre, sondern die Anzahl der Verzinsungs- perioden und q bezeichnet den auf die Verzinsungsperiode bezogenen Aufzinsungsfaktor. Wenn die Zinsperiode der m-te Teil eines Jahres ist, sprechen wir von unterjähriger Verzinsung und schreiben i m für den entsprechenden Zinssatz. Das so verzinste Anfangskapital K 0 hat nach einem Jahr den Endwert K 0 ·(1 + i m ) m . Der effektive Jahreszinssatz oder kurz Effektivzinssatz i eff ist der jährliche Zinssatz, der zu demselben Endwert führen würde, also: 1 + i eff = (1 + i m ) m Das m-Fache m·i m von i m heißt nomineller Jahreszinssatz oder kurz Nominalzinssatz . Achtung: Der Effektivzinssatz ist größer als der Nominalzinsatz! Mit p. a. bezeichnen wir jährliche Verzinsung , mit p. s. bezeichnen wir Verzinsung pro Halbjahr (Semester) , mit p. q. bezeichnen wir Verzinsung pro Vierteljahr (Quartal) und mit p.m. bezeichnen wir Verzinsung pro Monat . Die entsprechenden Zinssätze nennen wir Semesterzinssatz , Quartalszinssatz und Monatszinssatz . Zwei Zinssätze i m und i t (dabei sind m und t positive ganze Zahlen) sind äquivalent , wenn sie dem gleichen Effektivzinssatz entsprechen, also wenn (1 + i m ) m = (1 + i t ) t ist. 620 Ein Kapital von 10000 € wird ein Jahr lang angelegt. Ermittle jeweils den Endwert des Kapitals und den Effektivzinssatz bei einem Zinssatz von a. 6% p.a, b. 3% p.s., c. 1,5% p.q., d. 0,5% p.m. a. Der (Jahres-)Aufzinsungsfaktor q ist 1,06 und wir haben nur eine Verzinsungsperiode, daher ist K = 10000·1,06 = 10600€ und i eff = 6% p.a. b. Der Semesteraufzinsungsfaktor q 2 ist 1,03 und wir haben zwei Verzinsungsperioden, daher ist K = 10000·1,03 2 = 10609€ und i eff = (1,03 2 – 1) p.a. = 6,09% p.a. c. Der Quartalsaufzinsungsfaktor q 4 ist 1,015 und wir haben vier Verzinsungsperioden, daher ist K = 10000·1,015 4 = 10613,63€ und i eff = (1,015 4 – 1) p.a. ≈ 6,14% p.a. d. Der Monatsaufzinsungsfaktor q 12 ist 1,005 und wir haben zwölf Verzinsungsperioden, daher ist K = 10000·1,005 12 = 10616,77€ und i eff = (1,005 12 – 1) p.a. ≈ 6,17% p.a. unterjährige Verzinsung, Effektivzinssatz Nominal- zinssatz äquivalente Zinssätze B mcd/tns k6q9yq Endwert bei unterjähriger Verzinsung berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv