Mathematik HTL 2, Schulbuch

14 Quadratische Funktionen Wie zeichnen wir den Graphen von f mit f(x) = ax 2 + c? Wie verändert sich der Graph von g mit g(x) = x 2 , wenn wir diese Funktion mit einer Zahl a multiplizieren?  a·g ist auf der Halbgeraden R + genau dann streng monoton wachsend, wenn a positiv ist, und streng monoton fallend, wenn a negativ ist.  a·g ist auf der Halbgeraden R – genau dann streng monoton fallend, wenn a positiv ist, und streng monoton wachsend, wenn a negativ ist. Weiters wird  der Graph von g „gestreckt“, wenn † a † > 1 ist.  der Graph von g „gestaucht“, wenn 0 < † a † < 1 ist. Wie verändert sich der Graph von a·g, wenn wir zu dieser Funktion eine konstante Funktion addieren? Zum Beispiel ist der Graph von 2g + 1 (mit (2g + 1)(x) = 2x 2 + 1) die Menge {(x 1 2x 2 + 1) ‡ x * R} = {(x 1 2x 2 ) + (0 1 1) ‡ x * R} . Wir müssen also nur zu jedem Punkt des Graphen von 2g den Punkt (0 1 1) addieren, um den Graphen von 2g + 1 zu bekommen. Zeichnerisch bedeutet das, dass wir den Graphen von 2g um eine Einheit in der positiven Richtung der zweiten Koordinatenachse verschieben. Für reelle Zahlen a und c mit a ≠ 0 ist der Graph von f mit f(x) = ax 2 + c die Menge {(x 1 ax 2 + c) ‡ x * R} = {(x 1 ax 2 ) + (0 1 c) ‡ x * R} . Wir erhalten ihn, indem wir zu allen Punkten des Graphen von a·g (mit (a·g)(x) = a·x 2 ) den Punkt (0 1 c) addieren, also den Graphen von a·g um † c † Einheiten in Richtung der positiven oder negativen y-Achse verschieben, je nachdem, ob c positiv oder negativ ist. 26 Zeichne die Graphen der Funktionen x ¦ x 2 , x ¦ x 2 + 2, x ¦ x 2 – 3 in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Analysiere die Darstellungen. 27 Zeichne die Graphen der Funktionen g mit g(x) = x 2 , 1 _ 2 ·g, 2·g, 1 _ 4 ·g in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf? Analysiere die Darstellungen. 28 Zeichne die Graphen der Funktionen f mit f(x) = x 2 – 1, g mit g(x) = ‒ x 2 + 2, h mit h(x) = ‒ x 2 + 0,5, i mit i(x) = ‒ 1 _ 2 x 2 + 3 in ein Koordinatensystem. Analysiere die Darstellungen. 29 Zeichne mit einem Tabellenkalkulationsprogramm oder einer DGS Funktionen der Art x ¦ ax 2 + c. a. Gestalte die Eingabe so, dass a und c flexibel gewählt werden können. Arbeite dabei zum Beispiel mit einem Schieberegler. b. Untersuche für a * [‒ 5; 5] und c * [‒ 5; 5] die Veränderungen des Graphen. c. Dokumentiere die Ergebnisse und vergleiche diese mit den Angaben aus dem Theorieteil. 30 Kreuze an, welche der Aussagen für die Funktion f: R ¥ R , z ¦ az 2 + c richtig sind. A f ist für a > 0 auf R + streng monoton wachsend. B Für a < 0 ist f auf R – streng monoton wachsend. C Wenn † a † > 1 ist, dann wird der Graph von g mit g(z) = z 2 gestreckt. D Ist c positiv, so erhält man den Graphen von f, indem man den Graphen von R ¥ R , z ¦ az 2 um c Einheiten in Richtung der positiven y-Achse verschiebt. ggb p278vs y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 2g 4g c = 2 - 2g y x 0 - 2 -1 1 2 3 - 3 1 2 3 4 5 -1 2g + 1 + 1 Graph von f mit f(x) = ax 2 + c C C C C ggb s7y7xh D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv