Mathematik HTL 2, Schulbuch

136 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Praktische und theoretische Verzinsung Silvia hat vor 2 Jahren und 9 Monaten 200€ auf ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2% p.a. gelegt und möchte nun das Sparbuch auflösen. Nach 2 Jahren hätte sie 200·1,02 2 = 208,08€ bekommen. Wie viel bekommt sie für die restlichen 9 Monate? Am einfachsten sind die Zinsen zu berechnen, wenn für drei Viertel eines Jahres drei Viertel der Zinsen, die man für ein Jahr erhalten würde, bezahlt werden. Also 3 _ 4 ·208,08·0,02 = 3,12€. Diese Art der Verzinsung vor Ablauf einer Zinsperiode nennt man praktische Verzinsung . In diesem Fall werden Silvia insgesamt 208,08 + 3,12 = 211,20€ ausbezahlt. Man könnte aber auch die Zinseszinsformel für eine Laufzeit von 2 + 3 _ 4 = 11 _ 4 Jahren anwenden, also 200·1,02 11 _ 4 berechnen. Diese Art der Verzinsung vor Ablauf einer Zinsperiode nennt man theoretische Verzinsung . In diesem Fall werden Silvia 211,19€ ausbezahlt. Wenn wir statt Jahren beliebige Zinsperioden und statt einem 3 _ 4 Jahr (also 3-mal dem 4. Teil eines Jahres) k-mal den m-ten Teil einer Zinsperiode betrachten, können wir allgemein formulieren: Wir bezeichnen mit k und m zwei positive ganze Zahlen und nehmen k < m an. Zur Berechnung der Zinsen für das k-Fache des m-ten Teils einer Zinsperiode sind zwei Zugänge üblich: Bei der praktischen Verzinsung wird für das k-Fache des m-ten Teils einer Zinsperiode das k _ m -Fache der Zinsen für die ganze Zinsperiode bezahlt. Bei einem Zinssatz von p% pro Zins- periode ist dann der Endwert von K 0 nach n + k _ m Zinsperioden gleich K n + k _ m = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 n · 2 1 + k _ m p _ 100 3 . Bei der theoretischen Verzinsung werden die Zinsen für das k-Fache des m-ten Teils einer Zins- periode nach der Zinseszinsformel berechnet, wobei für die Verzinsungsdauer die rationale Zahl k _ m genommen wird. Bei einem Zinssatz von p% pro Zinsperiode ist dann der Endwert von K 0 nach n + k _ m Zinsperioden gleich K n + k _ m = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 n + k _ m . Tipp Die praktische Verzinsung findet heute vor allem bei der Berechnung des Guthabens von Spar- büchern Verwendung. Für Bankgeschäfte wird das Jahr zumeist in 12 gleich lange Monate zu je 30 Tagen eingeteilt, man rechnet also mit 360 Tagen für ein Jahr. Der 31. des Kalendermonats wird zum 30. des Bankmonats. 597 1 000€ werden a. für 5 Monate, b. für 2 Jahre 3 Monate und 14 Tage zu 3% p.a. angelegt. Berechne den Endwert bei theoretischer und bei praktischer Verzinsung. a. 5 Monate sind 5 _ 12 Jahre. theoretische Verzinsung: K 5 _ 12 = 1 000·1,03 5 _ 12 = 1 012,39€. praktische Verzinsung: K 5 _ 12 = 1 000· 2 1 + 0,03· 5 _ 12 3 = 1 012,50€ b. Wir rechnen in die kleinste vorkommende Einheit, also in Tage um: 2·360 + 3·30 + 14 = 824 Tage. Dieser Zeitraum entspricht 824 _ 360 Jahren. theoretische Verzinsung: K 824 _ 360 = 1 000·1,03 824 _ 360 = 1 069,99€. praktische Verzinsung: Beachte, dass der betrachtete Zeitraum länger als ein Jahr ist. Genauer gesagt 2 + 104 _ 360 Jahre. Das Endkapital ist daher K 2 + 104 _ 360 = 1 000·1,03 2 · 2 1 + 0,03· 104 _ 360 3 = 1 070,09€. praktische Verzinsung theoretische Verzinsung B Endwert bei theoretischer und praktischer Verzinsung berechnen tns b3s3k9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv