Mathematik HTL 2, Schulbuch

134 4.4 Zinseszinsrechnung Ich lerne die Zinseszinsformel kennen und situationsgerecht anzuwenden. Ich lerne den Unterschied zwischen praktischer und theoretischer Verzinsung kennen und ich lerne diese Kenntnis auf Fragestellungen der Finanzmathematik anzuwenden. Ich lerne unterjährige Zinssätze zu vergleichen. Zinsen und Zinseszinsen Florian gibt einer Bank 1 000€ und vereinbart, dass er nach einem Jahr nicht nur sein Geld, sondern zusätzlich noch 2% davon, also 20€, bekommt. Man sagt, dass Florian für sein Kapital pro Jahr 2% Zinsen bekommt, kurz: 2% p.a. Der Zusatz p. a. beim Zinssatz ist die Abkürzung für „ pro anno “ – auf Deutsch: „pro Jahr“. Die 1 000€ sind das Anfangskapital von Florian, die 1 020€, die er nach einem Jahr erhält, das Endkapital . Statt Anfangskapital sagt man auch Barwert , statt Endkapital Endwert . Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. angelegt, dann erhält man nach einem Jahr das Kapital K 1 = K 0 + p _ 100 K 0 = 2 1 + p _ 100 3 K 0 = K 0 ·q . K 0 heißt Anfangskapital oder Barwert , K 1 heißt Endkapital oder Endwert (nach 1 Jahr). Die Zahl p heißt Zinsfuß , die Zahl i = p _ 100 = p% heißt Zinssatz (i für das englische interest rate) und die Zahl q = 1 + p _ 100 = 1 + i heißt Aufzinsungsfaktor . Beispiel: Dem Zinssatz i = 3,5% = 0,035 entspricht der Zinsfuß p = 3,5 und der Aufzinsungsfaktor q = 1 + i = 1,035. 586 Ein Kapital von 2000€ wird ein Jahr lang zu 3% p.a. auf ein Sparbuch gelegt. Berechne den Endwert, also das Kapital samt Zinsen nach einem Jahr. 3% von 2000€ sind 60€, daher hat man am Ende des Jahres 2000 + 60 = 2060€. Zu den 100% des Kapitals kommen nach einem Jahr also noch 3% des Kapitals an Zinsen dazu, man hat nach einem Jahr also insgesamt 103% des Kapitals. Um den Endwert zu berechnen, kann man daher auch 103% von 2000€ berechnen: 2000·1,03 = 2060€ Wenn Florian sein Kapital nach einem Jahr nicht abholt, sondern ein weiteres Jahr zu 2% p.a. auf ein Sparbuch legt, erhält er nach dem zweiten Jahr 102% von 1 020€, also 1 040,40€. Die Zinsen des ersten Jahres werden also im zweiten Jahr auch verzinst. Wir sprechen daher vom Zinseszins . Wegen 1 020 = 1 000·1,02 ist der Endwert nach zwei Jahren 1 000·1,02 2 €. Nach 3 Jahren erhält er 102% von 1 040,40€ bzw. 1 000·1,02 3 = 1 061,21€. Allgemein gilt: Wird ein Kapital K 0 zu p% p.a. so angelegt, dass es jedes Jahr um die Zinsen vergrößert wird, dann ist das Kapital nach n Jahren gleich K n = K 0 ·q n . Barwert, End- wert, Zinsfuß, Zinssatz, Auf- zinsungsfaktor B Endwert nach einem Jahr berechnen Zinseszins- formel Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv