Mathematik HTL 2, Schulbuch

133 4.3 Modellieren von Wachstum durch andere Differenzengleichungen 583 In manchen Anwendungen kann beim logistischen Wachstum die sogenannte Kapazitätsgrenze kurzfristig überschritten werden. Wenn ein gewisser Lebensraum nur für eine gewisse Anzahl von Individuen Platz bietet, könnte diese Anzahl jedoch kurzfristig überstiegen werden, bis Platz- und Nahrungsmangel dazu führen, dass die Anzahl wieder zurückgeht. In so einem Fall kommt es, abhängig von der jeweiligen Wachstumsrate zu unterschiedlichen Phänomenen: Betrachten wir eine abgeschiedene Insel, die Platz für 500 Tiere einer bestimmten Art bietet. Diese Tierpopulation vermehrt sich anfänglich mit Wachstumsfaktor r pro Jahr. Durch das beschränkte Platzangebot, kommt es zu einem logistischem Wachstum, das durch die Differenzengleichung y t + 1 = y t + r·y t · 2 1 – y t _ 500 3 beschrieben werden kann. Zurzeit leben 80 Tiere auf dieser Insel. a. Berechne den jeweiligen Tierbestand für die nächsten 50 Jahre mithilfe eines Tabellen- kalkulationsprogramms. Gestalte die Tabelle dabei so, dass du den Wachstumsfaktor in einer einzigen Zelle eingeben und verändern kannst. b. Stelle das Wachstumsverhalten in einem geeigneten Diagramm graphisch dar. c. Setze nun für den Wachstumsfaktor unterschiedliche Zahlen ein und beobachte, wie der Wachstumsfaktor das Wachstumsverhalten beeinflusst. In welchem Bereich muss r ungefähr liegen, damit das Wachstumsverhalten in etwa den unten angeführten Beispielen I. bis III. ähnelt? I. II. III. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann geeignete Fragestellungen aus dem Alltag beantworten, indem ich die jeweilige Situation durch eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung beschreibe und diese löse. 584 Verändertes Kaninchenproblem nach Fibonacci: Wir nehmen an, dass ein Kaninchenpaar ab seinem zweiten Lebensmonat jeden Monat zwei Paar Junge bekommt und dass kein Kaninchen stirbt. Wie viele Kaninchenpaare gibt es n Monate nach der Geburt des ersten Kaninchenpaares? a. Beschreibe diese Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Berechne die Anzahl der Kaninchen nach einem Jahr. Ich kann geeignete Fragestellungen aus dem Alltag beantworten, indem ich die jeweilige Situation durch eine logistische Differenzengleichung beschreibe und diese löse. 585 Biologen wollen in einem Gebiet den Seeadler wieder ansiedeln und setzen dafür 2 Paare See- adler aus. Sie gehen von einer anfänglichen Zuwachsrate von 25% pro Jahr aus. Das Gebiet lässt eine maximale Population von 400 Seeadlern zu. Wie viele Seeadler gibt es nach n Jahren? a. Beschreibe diese Aufgabe durch eine logistische Differenzengleichung. b. Bestimme die Anzahl der Seeadler nach 10 Jahren. c. Stelle die Paare (n 1 Anzahl der Seeadler nach n Jahren) für einige natürliche Zahlen n in einem Koordinatensystem dar und lies ab, wann die maximale Population erreicht sein wird. B, C ggb 6hd3kr 40 30 20 10 0 0 600 500 700 400 300 200 100 Jahre Tierbestand 40 30 20 10 0 0 600 500 700 400 300 200 100 Jahre Tierbestand 40 30 20 10 0 0 600 500 700 400 300 200 100 Jahre Tierbestand A, B A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv