Mathematik HTL 2, Schulbuch

132 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Eine logistische Differenzengleichung ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind Zahlen a, r, K mit 0 < r < 1 und 0 < a < K . Gesucht ist eine Folge k y n l mit den Eigenschaften  y 0 = a und  für alle natürlichen Zahlen n ist y n + 1 = r· 2 1 – y n _ K 3 ·y n + y n . Eine solche Folge heißt Lösung der logistischen Differenzengleichung. K heißt Kapazitätsgrenze . Solche Folgen beschreiben Wachstum, das begrenzt ist, zunächst aber exponentiell verläuft. Ansteckende Krankheiten verbreiten sich oft zunächst exponentiell, da jeder Infizierte wiederum eine gewisse Anzahl von gesunden Menschen ansteckt, von denen jeder wiederum eine gewisse Anzahl von Gesunden ansteckt usw. In weiterer Folge wird es aber immer schwerer, Personen zu finden, die noch nicht von dieser Krankheit erfasst wurden: Das Wachstum bremst sich ein, es ist beschränkt. Es liegt daher nahe, die Ausbreitung von Krankheiten durch eine logistische Differen- zengleichung zu beschreiben. 579 Auf einer Insel mit 12000 Einwohnern verbreitet sich eine bis dahin unbekannte Krankheit, für die es noch keine Impfung gibt. Begonnen hat alles ganz harmlos mit 3 erkrankten Personen, aber bald schon stellte sich heraus, dass in der ersten Zeit die Anzahl der Erkrankten Woche für Woche um 50% gestiegen ist. a. Beschreibe die Verbreitung dieser Krankheit unter der Bevölkerung durch eine logistische Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 21 Folgenglieder der Lösung mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Wie viele Erkrankte gibt es nach 5, 10, 15 und 20 Wochen? c. Lies in der Tabelle ab, zu welchem Zeitpunkt erstmals mehr als 2000 Einwohner an dieser Krankheit erkrankt sein werden. 580 Eine Seuche verbreitet sich unter den Bewohnern eines abgeschiedenen Dorfes. Momentan sind 80 der 1 400 Bewohner erkrankt und die Zahl der Kranken nimmt täglich um durchschnittlich 10% zu. a. Beschreibe die Verbreitung dieser Krankheit unter der Bevölkerung durch eine logistische Differenzengleichung. b. Berechne eine geeignete Anzahl von Folgengliedern der Lösung mit einem Tabellenkalkula- tionsprogramm und stelle die Ausbreitung der Krankheit in einem geeigneten Diagramm dar. c. Lies ab, zu welchem Zeitpunkt in etwa die Hälfte der Bevölkerung an dieser Krankheit erkrankt sein wird. 581 Bei der Verbreitung eines Gerüchts geht man davon aus, dass das Wachstum der Zahl der Personen, die dieses Gerücht gehört haben, logistisch ist. Welche Gründe sprechen für diese Annahme? Begründe. 582 Der Fischbestand in einem Teich nimmt wöchentlich um 5% zu. Zurzeit leben 200 Fische in diesem Teich. Man geht davon aus, dass dieser Teich Lebensraum für maximal 2000 Fische bietet. a. Beschreibe das Wachstum des Fischbestandes durch eine logistische Differenzengleichung und stelle die Lösungsfolge mit einem Tabellenkalkulationsprogramm graphisch dar. b. Ermittle anhand der Tabelle der Folgenglieder, in wie vielen Wochen die Zahl der neu hinzu- gekommenen Fische erstmals geringer ausfällt als in der Vorwoche und markiere diesen Punkt in der Graphik. Welche besondere Eigenschaft hat der Graph an dieser Stelle? logistische Differenzen- gleichung Kapazitäts- grenze A, B, C A, B, C D A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv