Mathematik HTL 2, Schulbuch

131 4.3 Modellieren von Wachstum durch andere Differenzengleichungen Wir können so für alle natürlichen Zahlen n das n-te Folgenglied der Lösung berechnen. Berechnen wir so die ersten 13 Folgenglieder der Differenzengleichung von Fibonacci, dann erhalten wir ab dem zweiten jedes Folgenglied, indem wir die Summe der zwei vorange- gangenen bilden. So erhalten wir k 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … l . Nach 12 Monaten gibt es 233 Kaninchenpärchen. 576 Berechne die ersten 8 Glieder der Lösung der Differenzengleichung zweiter Ordnung. a. y 0 = 1 _ 2 , y 1 = 1, y n + 2 = 0,5y n + 1 + y n d. y 0 = 40, y 1 = 45, y n + 2 = 0,5 y n + 1 + 0,5 y n b. y 0 = 6, y 1 = 5, y n + 2 = 0,25y n + 1 + 0,5 y n e. y 0 = 0, y 1 = 1, y n + 2 = 0,5 y n + 1 + 0,1 y n + 1 c. y 0 = 100, y 1 = 90, y n + 2 = 0,2y n + 1 + 0,5 y n f. y 0 = 10, y 1 = 12, y n + 2 = 1,2 y n + 1 + 1,1 y n + 1 577 Verändertes Kaninchenproblem nach Fibonacci: Wir nehmen an, dass ein Kaninchenpaar ab seinem zweiten Lebensmonat jeden Monat drei Paar Junge bekommt und dass weiterhin kein Kaninchen stirbt. a. Modelliere diese Situation durch eine Differenzengleichung. b. Berechne die Anzahl der Kaninchen nach einem Jahr. 578 Um ein neuartiges Smartphone noch begehrter zu machen, haben die Marketingstrategen ein Modell entworfen. Dabei bekommen zunächst 500 ausgewählte Kunden eines der begehrten neuen Geräte. Diese dürfen jeweils 5 weitere Namen nennen, die nach einer Wartezeit von einem Monat ebenfalls ein Gerät kaufen dürfen und so auch das Recht auf weitere Namens- nennungen erwerben. a. Modelliere die Entwicklung der Anzahl der Besitzer der neuen Geräte mithilfe einer Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 10 Glieder der Lösung dieser Differenzengleichung. c. Stelle fest, wann nach diesem Modell 1 000000 Kunden ein solches Gerät besitzen. Logistisches Wachstum Wir betrachten wieder eine kleine Insel mit Ziegen. Das Nahrungsmittelangebot der Insel reicht nur für höchstens 100 Ziegen. In der Musteraufgabe auf Seite 127 haben wir angenommen, dass das Wachstum der Anzahl der Ziegen durch die Differenzengleichung y t + 1 = y t + r·(100 – y t ) beschrieben werden kann, wobei r eine reelle Zahl mit 0 < r < 1 ist. Die Zahl y t ist die Anzahl der Ziegen nach t Jahren. Wenn am Anfang nur zwei oder vier Ziegen auf der Insel sind, wird das beschränkte Nahrungs- mittelangebot lange nicht bemerkbar sein. Man kann daher anfangs exponentielles Wachstum annehmen. Erst wenn die Zahl der Ziegen groß wird, ist dieses Modell nicht mehr anwendbar. Daher kann diese Situation genauer durch die Annahme, dass der Zuwachs y t + 1 – y t nicht r(100 – y t ), sondern r·(100 – y t )· y t _ 100 = r· 2 1 – y t _ 100 3 ·y t ist, beschrieben werden. Wenn nämlich y t sehr klein ist, dann ist 2 1 – y t _ 100 3 ungefähr gleich 1 und y t + 1 – y t ≈ r·y t , also haben wir ungefähr exponentielles Wachstum. Wenn y t ≈ 100 ist, dann ist 2 1 – y t _ 100 3 ungefähr gleich 0 und y t + 1 – y t ≈ 0, es gibt also (fast) keinen Zuwachs mehr. Wir sprechen in diesem Fall von einem logistischen Wachstum der Anzahl der Ziegen. A, B A, B A, B ggb xu9a7r Jahre Anzahl der Ziegen 109876543210 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv