Mathematik HTL 2, Schulbuch

130 4.3 Modellieren von Wachstum durch andere Differenzengleichungen Ich lerne geeignete Fragestellungen aus dem Alltag zu beantworten, indem ich die jeweilige Situation durch eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung beschreibe und diese löse. Ich lerne geeignete Fragestellungen aus dem Alltag zu beantworten, indem ich die jeweilige Situation durch eine logistische Differenzengleichung beschreibe und diese löse. Lineare Differenzengleichungen zweiter Ordnung Zu Beginn des 13. Jahrhunderts überlegte sich Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, die folgende Frage: Wenn ein Kaninchenpaar ab seinem zweiten Lebensmonat jeden Monat ein Paar Junge bekommt und wenn wir annehmen, dass kein Kaninchen (im betrachteten Zeitraum) stirbt, wie viele Kaninchenpaare gibt es dann insgesamt nach 12 Monaten, oder allgemein nach n Monaten? Wir bezeichnen mit y t die Anzahl der Kaninchenpaare nach t Monaten und beginnen mit einem Kaninchenpaar, also y 0 = 1. Nach einem Monat wirft dieses Paar noch nicht, also gibt es dann noch immer nur ein Kaninchen- paar, somit ist auch y 1 = 1. Nach zwei Monaten kommt ein neugeborenes Kaninchenpaar hinzu, also ist y 2 = 2. Wie setzt sich die Anzahl y t + 2 der Kaninchenpaare nach t + 2 Monaten zusammen? Da gibt es die Kaninchenpaare, die vor einem Monat schon gelebt haben, also y t + 1 Kaninchenpaare und jene, die neugeboren sind. Neugeborene Paare gibt es aber genauso viele, wie es Kaninchen- paare gibt, die mindestens zwei Monate alt sind, also y t Kaninchenpaare. Deshalb ist y t + 2 = y t + 1 + y t für alle natürlichen Zahlen t. Fibonacci hat also eine Folge gesucht, welche folgende Bedingungen erfüllt:  y 0 = 1 , y 1 = 1 und  für alle natürlichen Zahlen t ist y t + 2 = y t + 1 + y t . Ein Folgenglied kann nun nicht mehr wie bei linearen Differenzengleichungen erster Ordnung aus seinem Vorgänger allein berechnet werden, sondern man muss auch den Vorvorgänger berück- sichtigen. Diese Aufgabe ist eine (homogene) lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung . Eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind Zahlen a, b, c und d, sowie eine Folge k h n l . Gesucht ist eine explizite Form einer Folge k y n l mit den Eigenschaften:  y 0 = a, y 1 = b und  für alle natürlichen Zahlen n ist y n + 2 = c·y n + 1 + d·y n + h n . Eine solche Folge heißt Lösung der Differenzengleichung. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz: „Löse die Differenzengleichung y n + 2 = c·y n + 1 + d·y n + h n mit y 0 = a, y 1 = b“. Wenn für alle t * N h t = 0 ist, heißt die Differenzengleichung homogen . Eine lineare Differenzengleichung zweiter Ordnung hat immer eine Lösung und diese ist eindeu- tig bestimmt, weil wir, mit y 0 = a und y 1 = b beginnend, die Folgenglieder nacheinander aus den zwei jeweils vorangegangenen berechnen können. y 0 = a y 1 = b y 2 = cy 1 + dy 0 + h 0 = cb + da + h 0 y 3 = cy 2 + dy 1 + h 1 = c 2 b + cda + ch 0 + db + h 1 y 4 = cy 3 + dy 2 + h 2 = c 3 b + c 2 da + c 2 h 0 + cdb + ch 1 + dcb + d 2 a + dh 0 + h 2 lineare Differenzen- gleichung zweiter Ordnung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv