Mathematik HTL 2, Schulbuch

129 4.2 Modellieren von Wachstum durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 571 Wer schon einmal ein Sammelalbum für Sticker besessen hat, kennt das folgende Phänomen: Anfangs kann man praktisch alle neu gekauften Sticker einkleben, aber je mehr Aufkleber sich schließlich im Album befinden, desto länger dauert es, bis man einen Sticker bekommt, den man noch nicht besitzt. Diese Eigenschaft ist ein Anzeichen für beschränktes Wachstum. Ein Sammelalbum bietet Platz für 350 Aufkleber. In einer Packung befinden sich 5 Aufkleber. (Wir setzen voraus, dass die Aufkleber nicht getauscht werden.) a. Beschreibe die Anzahl der eingeklebten Sticker nach dem Kauf von t Packungen durch eine Differenzengleichung. b. Stelle die entstandene Zahlenfolge in einem Tabellenkalkulationsprogramm dar. c. Gib an, wie viele Packungen man etwa kaufen muss, um 50, 100, 150, 200, 250, 300 bzw. 349 Felder bekleben zu können. d. Welche Probleme entstehen, wenn man mit diesem Modell voraussagen möchte, nach wie vielen Packungen das Album komplett ist? Begründe. Wie würdest du dieses Problem lösen? 572 Franz hat ein Fußball-Sammelalbum für 535 verschiedene Sticker geschenkt bekommen. Täglich am Schulweg kauft er sich 2 Päckchen mit je 5 Stickern. a. Beschreibe die Anzahl der Sticker im Album nach t Tagen mithilfe einer Differenzengleichung. b. Ermittle, wie viele Aufkleber sich nach t Tagen ungefähr im Album befinden. c. Stelle die entstandene Zahlenfolge in einem Tabellenkalkulationsprogramm dar. d. Gib an, wie viele Packungen Franz etwa kaufen muss, um 100, 200, 300, 400 bzw. 500 Felder bekleben zu können, wenn er niemanden findet, mit dem er seine Sticker tauschen kann. e. Wie viel müsste Franz in seine Sammlung investieren, wenn eine Packung 0,60€ kostet? f. Gib an, welche Probleme entstehen, wenn man mit diesem Modell voraussagen möchte, nach wie vielen Packungen das Album komplett ist. Begründe. Wie würdest du die Probleme lösen? Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung lösen. 573 Gib die ersten 5 Glieder der Lösung der Differenzengleichung an. a. y n + 1 = 2 y n mit y 0 = 3 c. y n + 1 = y n + 5 mit y 0 = 4 b. y n + 1 = 1,05y n mit y 0 = 100 d. y n + 1 = 2y n + 1 mit y 0 = 1 Ich kann gewisse Wachstums- und Abnahmevorgänge durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung beschreiben und damit entsprechende Fragestellungen aus dem Alltag beantworten. 574 Ein Kapital von 75000€ wird zu einem Zinssatz von jährlich 4% angelegt. Wie groß ist das Kapital nach n Jahren? a. Modelliere die Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 5 Glieder der Lösung. c. Gib eine explizite Form der Lösung an. 575 Eine Firma produziert jeden Tag 800 Pullover. Der Lagerstand beträgt heute 3500 Pullover. a. Wie viele Pullover befinden sich nach t Tagen im Lager, wenn keine Pullover ausgeliefert werden? Beschreibe die Aufgabe mithilfe einer Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 6 Glieder der Lösung und gib eine explizite Form der Lösung an. c. Gib die Differenzengleichung an, wenn jeden Tag 550 Pullover ausgeliefert werden. d. Berechne die ersten 6 Glieder der Lösung und gib eine explizite Form der Lösung an. A, B, D A, B, C, D B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv