Mathematik HTL 2, Schulbuch

128 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 567 Gegeben sind die zwei Differenzengleichungen: I) y t + 1 = y t + 0,2·(100 – y t ) mit y 0 = 1 II) y t + 1 = y t – 0,2·y t mit y 0 = 100 a. Durch welche der zwei Differenzengleichungen wird exponentielles, durch welche beschränk- tes Wachstum beschrieben? b. Berechne jeweils die ersten 30 Glieder der Lösung k y n l und stelle die Paare (n, y n ) für n = 0, 1, 2, …, 29 in einem Koordinatensystem dar. c. Vergleiche die beiden Graphen. Beschreibe, welche Gemeinsamkeiten dir auffallen. 568 Hannah möchte ihren Schokoladekonsum drastisch reduzieren. Sie kauft zu diesem Zweck eine große 500g-Tafel Milchschokolade und beschließt, jeden Tag nur I. die Hälfte, II. ein Viertel der noch übrig gebliebenen Schokolade zu essen. a. Modelliere durch eine Differenzengleichung, wie viel Gramm Schokolade am Ende jedes Tages noch vorhanden sind und berechne die ersten 10 Glieder der Lösung. b. Gib an, nach wie vielen Tagen die Restmenge an Schokolade erstmals unter 10g liegt. 569 Adrian hat von einer reichen Tante 100000€ geerbt. Dieses Erbe legt er am Jahresanfang auf ein mit jährlich 3% verzinstes Sparkonto und beschließt, zukünftig am Ende jeden Jahres jeweils 20% des aktuellen Guthabens (nach der Verzinsung) abzuheben. a. Beschreibe diesen Vorgang durch eine Differenzengleichung und zeichne die Paare (Jahr, Guthaben am Ende dieses Jahres) für die ersten 10 Jahre in ein geeignetes Koordinaten- system. b. Berechne die Folge der Geldbeträge, die Adrian am jeweiligen Jahresende abhebt. Wann fällt der Kontostand erstmals unter 10000€ und welchen Betrag hat Adrian in diesem Jahr abge- hoben? c. Wann kann Adrian erstmals weniger als 1 000€ abheben? d. Ermittle eine Folge, die angibt, welchen Betrag Adrian bis zum jeweiligen Jahresende bereits insgesamt abgehoben hat. Stelle auch diese Folge in einem Koordinatensystem dar. Was fällt dir auf? e. Berechne, welchen Betrag Adrian im Laufe der Jahre insgesamt abheben kann. Gibt es eine obere Grenze, oder kann er beliebig viel abheben, wenn er nur lange genug wartet? Welchen Einfluss hat der Zinssatz auf diesen Gesamtbetrag? 570 In einem sehr technologiefreundlichen Land wird ein völlig neuartiges Smartphone auf den Markt gebracht. Zu Beginn besitzen nur 5000 der insgesamt 1 000000 Einwohner dieses Smart- phone, jedoch verdoppelt sich zu Beginn die Anzahl der Besitzer jede Woche. a. Modelliere durch eine Differenzengleichung, wie viele Einwohner jede Woche dieses neue Smartphone besitzen. b. Berechne mithilfe der Differenzengleichung aus Aufgabe a. , wie viele Einwohner nach 1, 2, 3 und 4 Wochen ein neues Smartphone besitzen. c. Ermittle, wie viele Einwohner 15 Wochen nach der Einführung ein neues Smartphone besitzen. d. Wann besitzen mehr als 40% der Einwohner das Smartphone? Berechne. e. Bestimme, wie lange es dauern würde, bis alle Einwohner ein neues Smartphone besitzen. f. Berechne, wann alle Einwohner ein Smartphone hätten, wenn zu Beginn nicht 5000 sondern 10000 Einwohner bereits Smartphonebesitzer gewesen wären. g. Ist ein solches Modell realistisch? Begründe. B, C A, B A, B, C A, B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv