Mathematik HTL 2, Schulbuch

127 4.2 Modellieren von Wachstum durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung 562 Herbert nimmt ein Darlehen in der Höhe von 20000€ auf. Der Zinssatz beträgt jährlich 5,75%. Am Ende jeden Jahres zahlt Herbert 2500€ an die Bank zurück. Wie groß ist der Schuldenstand von Herbert nach t Jahren? a. Modelliere diese Aufgabe mithilfe einer Differenzengleichung. b. Gib den Schuldenstand am Ende der ersten 10 Jahre an. 563 Anna hat ein Sparbuch, bei dem sie für ihr Guthaben jährlich 2% Zinsen bekommt. Am Ende jedes Jahres zahlt sie 1 000€ ein. Wie groß ist ihr Guthaben nach t Jahren? Beschreibe diese Auf- gabe durch eine Differenzengleichung. Berechne die ersten 10 Glieder ihrer Lösung. 564 Die Anzahl der Fische in einem Fischteich würde jährlich um 340% wachsen, wenn der Teich nicht befischt würde. Zu Beginn des ersten Jahres befinden sich 100 Fische in diesem Teich. a. Beschreibe unter diesen Voraussetzungen das Wachstum des Fischbestands mithilfe einer Differenzengleichung und gib die ersten 10 Glieder ihrer Lösung an. b. Ist ein solches Modell in der Praxis realistisch? Begründe. Worin liegen die Probleme, wenn man exponentielles Wachstum annimmt? 565 (Fortsetzung von Aufgabe 564) Wie ändert sich der Fischbestand, wenn man annimmt, dass jährlich (nach der Schonzeit, also nachdem die Fische gelaicht haben) a. 200 Fische, b. das Doppelte des vorjährigen Fischbestandes aus dem Teich gefischt werden? Gib jeweils die passende Differenzengleichung an und berechne die ersten 10 Glieder ihrer Lösung. Modellieren von beschränkten Wachstums- und Abnahmeprozessen 566 Auf einer kleinen Insel leben derzeit 60 Ziegen. Das Nahrungsmittelangebot der Insel reicht für höchstens 100 Ziegen. Wenn die Anzahl der Ziegen steigt, wird die Ernährung schlechter und die Ziegen vermehren sich langsamer. Wir nehmen daher an, dass der Zunahme der Anzahl der Ziegen pro Jahr proportional zur Differenz von 100 und der Anzahl der Ziegen im Vorjahr ist. Wie viele Ziegen leben nach t Jahren auf der Insel? Zeichne auch ein Diagramm. Wir bezeichnen die Anzahl der Ziegen nach t Jahren mit y t . Dann ist nach unserer Annahme über die Zunahme der Anzahl der Ziegen y t + 1 = y t + r·(100 – y t ) also y t + 1 = (1 – r)·y t + r·100, dabei ist r eine reelle Zahl zwischen 0 und 1, die wir wählen müssen. Die Lösung der Differenzengleichung y t + 1 = (1 – r)·y t + r·100 mit y 0 = 60 ist die Folge k (1 – r) n 60 + 100r((1 – r) n – 1) ___ (1 – r) – 1 l = k 100 – 40(1 – r) n l . Wenn r = 1 _ 3 ist, dann gibt es nach n Jahren 100 – 40· 2 2 _ 3 3 n Ziegen. Nach einem Jahr sind es ungefähr 73, nach zwei Jahren sind es ungefähr 82 und nach fünf Jahren sind es ungefähr 95 Ziegen. Wir sprechen in diesem Fall von einem beschränkten Wachstum (der Anzahl der Ziegen). Wenn wir einen Vorgang durch die Differenzengleichung y t + 1 = y t + r·(K – y t ) mit y 0 = a beschreiben, wobei r, K und a reelle Zahlen mit 0 ≤ a ≤ K und 0 < r < 1 sind, haben wir beschränk- tes Wachstum angenommen. A, B A, B A, D A A, B ggb/xls rv2ah5 beschränktes Wachstum modellieren Jahre Anzahl der Ziegen 5 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 beschränktes Wachstum Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv