Mathematik HTL 2, Schulbuch

126 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 554 Eine Zeitungsdruckmaschine hat eine Druckleistung von 1 250 Zeitungen pro Minute. Wie viele Zeitungen wurden nach n Minuten gedruckt? a. Modelliere diese Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 15 Glieder ihrer Lösung. 555 Laura bekommt jede Woche 5€ Taschengeld, das sie sofort in ihr Sparschwein gibt. Im Sparschwein sind bereits 20€. Wie viel Geld ist nach n Wochen in ihrem Sparschwein? a. Beschreibe diese Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Berechne die ersten 8 Glieder der Lösung. 556 Ein Kapital K 0 wird zu einem Zinssatz von 3% p.a. angelegt. Wie groß ist das Kapital nach t Jahren? a. Modelliere diese Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Bestimme die ersten 10 Glieder ihrer Lösung, wenn K 0 = 15000€ ist. 557 Das Guthaben auf einem Girokonto vermehrt sich (durch Zinsen) um 1% pro Jahr. Berechne, wie viel Euro mehr man mit einem Wertpapierkonto verdienen kann, wenn man 25000€ für 12 Jahre anlegt und das Wertpapierkonto mit durchschnittlich 7,5% pro Jahr verzinst ist. 558 Auf einem Sparbuch vermehrt sich ein Guthaben von anfänglich 10000€ um 2,5% pro Jahr. In Österreich wird aber gleichzeitig eine Kapitalertragssteuer in Höhe von 25% von der Bank einbehalten. a. Beschreibe diese Aufgabe durch eine Differenzengleichung. b. Berechne, über wie viel Euro der Sparbuchbesitzer nach 3 Jahren, nach 5 Jahren nach 7 Jahren verfügen kann. 559 Gewisse Bakterien vermehren sich pro Stunde um 50%. Unter günstigeren Bedingungen im Labor vermehren sie sich um 65% pro Stunde. Bestimme, um wie viele Bakterien es nach 13 Stunden unter den günstigeren Bedingungen mehr sind, wenn zu Beginn 1 000 Bakterien vorhanden sind. 560 Ein Anbieter von Finanzprodukten wirbt: „Zahlen Sie heute 10000€ ein und Sie erhalten in 35 Jahren zum Pensionsantritt das 10-Fache!“ a. Wie hoch ist die jährliche Verzinsung? Berechne. b. Ist das ein gutes Angebot? Vergleiche mit heute angebotenen Verzinsungen. Wie hoch wäre bei einer derzeitig üblichen Verzinsung der Endbetrag nach 35 Jahren? 561 Ein Kapital von 8000€ wird zu einem Zinssatz von 3% p.a. angelegt. Der Eigentümer hebt am Ende jeden Jahres 500€ ab. Berechne die Höhe des Kapitals nach 5 Jahren. Wir bezeichnen das Kapital nach t Jahren mit y t . Am Ende des darauffolgenden Jahres wird das Kapital um die Zinsen 0,03·y t vermehrt und um den abgehobenen Betrag von 500€ verringert. Also ist das Kapital nach t + 1 Jahren gleich y t + 1 = y t + 0,03·y t – 500 = 1,03·y t – 500. Wir beginnen mit y 0 = 8000 und berechnen induktiv y 1 , y 2 , …, y 5 . y 0 = 8000 y 1 = 7740 y 2 = 7472,20 y 3 = 7196,37 y 4 = 6912,26 y 5 = 6619,62 Das Kapital nach 5 Jahren beträgt also 6619,62€. A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B Kapital nach einem Zeitraum berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv