Mathematik HTL 2, Schulbuch

125 4.2 Modellieren von Wachstum durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung Wenn wir einen Vorgang durch eine lineare Differenzengleichung y n + 1 = y n + k mit y 0 = a beschreiben, sagen wir, dass wir für diesen Vorgang lineares Wachstum , wenn k > 0 ist, bzw. lineare Abnahme , wenn k < 0 ist, angenommen haben. Warum? Die Lösung dieser Differenzengleichung ist die arithmetische Folge k a + nk l und diese ist die Einschränkung der linearen Funktion a + x k = k x + a auf die Menge der natürlichen Zahlen. 553 Ein Kapital K 0 wird zu einem Zinssatz von p% p.a. angelegt, das heißt: Jedes Jahr wird das vorhandene Kapital um das p _ 100 -Fache davon vermehrt. Wie groß ist das Kapital nach n Jahren? Wir bezeichnen das Kapital nach t Jahren mit y t . Jedes Jahr wird das Kapital um die Zinsen vermehrt, also ist y t + 1 = y t + p _ 100 ·y t = 2 1 + p _ 100 3 ·y t das Kapital nach t + 1 Jahren. Die Lösung der Differenzengleichung y t + 1 = 2 1 + p _ 100 3 ·y t mit y 0 = K 0 ist die geometrische Folge k K 0 , K 0 · 2 1 + p _ 100 3 , K 0 · 2 1 + p _ 100 3 2 , …, K 0 · 2 1 + p _ 100 3 t , … l . Diese geometrische Folge ist die Einschränkung der Funktion f: R ¥ R mit f(t) = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 t auf die Menge der natürlichen Zahlen. Die Funktion f ist das K 0 -Fache der Exponentialfunktion zur Basis 1 + p _ 100 . Wir sagen daher, dass das Kapital exponentiell wächst. Das Kapital nach n Jahren ist K 0 · 2 1 + p _ 100 3 n . Wenn wir einen Vorgang durch eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung y n + 1 = c·y n mit y 0 = a beschreiben, sagen wir, dass wir für diesen Vorgang exponentielles Wachstum , wenn c > 1 ist, bzw. exponentielle Abnahme , wenn c < 1 ist, angenommen haben. Warum? Die Lösung dieser Differenzengleichung ist die geometrische Folge k a·c n l und diese ist (für c > 0) die Einschränkung der Funktion f mit f (t) = a·c t für alle reellen Zahlen t, also des a-Fachen der Exponentialfunktion zur Basis c auf die Menge der natürlichen Zahlen. Beschreiben wir einen Vorgang durch eine Folge von Zahlen (also eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist), dann sagen wir, dass wir ihn diskret modelliert haben. Das ist zum Beispiel bei einem in der Zeit ablaufenden Vorgang naheliegend, wenn wir ihn nur in vorgegebenen Zeitabständen (zum Beispiel immer am Ende eines Jahres, oder alle Stunden …) beobachten. Wenn wir annehmen, dass dieser Vorgang lineares bzw. exponentielles Wachstum hat, dann beschreiben wir ihn durch eine arithmetische bzw. geometrische Folge. Diese ist die Einschränkung einer linearen Funktion bzw. des Vielfachen einer Exponentialfunktion auf die Menge der natürlichen Zahlen. Beschreiben wir einen Vorgang durch eine Funktion, die auf der Menge aller reellen Zahlen (oder auf der Menge aller nicht negativen reellen Zahlen oder auf einem Intervall) definiert ist, dann sagen wir, dass wir ihn kontinuierlich modelliert haben. Das ist zum Beispiel bei einem in der Zeit ablaufenden Vorgang naheliegend, wenn wir ihn zu beliebigen Zeitpunkten beobachten können. Wenn wir annehmen, dass dieser Vorgang lineares bzw. exponentielles Wachstum hat, dann beschreiben wir ihn durch eine lineare Funktion bzw. durch ein Vielfaches einer Exponentialfunktion. lineares Wachstum A, B ggb/mcd wt75d4 exponentielles Wachstum modellieren K 0 y x exponentielles Wachstum diskret modellieren kontinuierlich modellieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv