Mathematik HTL 2, Schulbuch

124 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung Die arithmetische Folge k a + nd l mit Anfangsglied a und Differenz d ist die einzige Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = y n + d mit y 0 = a. Diese Differenzengleichung ist also eine rekursive Darstellung der arithmetischen Folge k a + n·d l . Weil c n – 1 d + c n – 2 d + … + cd + d = d(c n – 1 + c n – 2 + … + c + 1) = d· c n – 1 _ c – 1 ist, folgt: Wenn c ≠ 1 ist, dann ist die Folge k c n ·a + c n – 1 ·d + c n – 2 ·d + … + c·d + d l = k a·c n + d· c n – 1 _ c – 1 l die einzige Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = c·y n + d mit y 0 = a. 549 Schreibe die ersten 5 Folgenglieder der Lösung der Differenzengleichung erster Ordnung an. a. y n + 1 = 1,5·y n mit y 0 = 1 c. y n + 1 = 2y n + 2n mit y 0 = 1 e. y n + 1 = ‒ y n + n 2 mit y 0 = 0 b. y n + 1 = 1,1·y n + 2 mit y 0 = 3 d. y n + 1 = y n + (‒1) n ·n mit y 0 = 0 f. y n + 1 = y n + 2 n mit y 0 = 0 550 Löse die Differenzengleichung y n + 1 = cy n + d mit y 0 = a. a. c = 2, a = 1, d = 0 c. c = 1, a = 1, d = 1 e. c = 2, a = 5, d = ‒1 b. c = 1 _ 2 , a = ‒1, d = 0 d. c = 1, a = ‒ 2, d = 2 f. c = 1 _ 3 , a = ‒ 2, d = 2 551 Schreibe eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung an, deren Lösung die Folge ist. a. k 3·2 n l d. k 12 _ 4 n l g. k 13 + 11n l j. k 2 _ 3 ·3 n + 7· 3 n – 1 _ 2 l b. k ‒ 4· 2 1 _ 2 3 n l e. k 1 _ 3 + 5n l h. k 5 + n _ 4 l k. k 4·2 n + 3· 2 n – 1 _ 2 – 1 l c. k 100·1,4 n l f. k 7 – 6n l i. k ‒ 2·11 n + 3· 11 n – 1 _ 10 l l. k 10000·1,05 n – 120· 1,05 n – 1 __ 0,05 l Modellierung von linearen und exponentiellen Wachstums- und Abnahmeprozessen 552 Ein Autohersteller produziert täglich 3000 Fahrzeuge. Wie viele Autos werden in n Tagen (dabei ist n eine natürliche Zahl) insgesamt produziert? Zeichne auch ein Diagramm. Wir bezeichnen mit y t die Anzahl der in t Tagen produzierten Autos. Die Anzahl der insgesamt produzierten Autos wächst täglich um 3000. Daher ist für alle t * N y t + 1 = y t + 3000. Der Zuwachs y t + 1 – y t ist jeden Tag derselbe, nämlich 3000. Die Lösung der Differenzengleichung y t + 1 = y t + 3000 mit y 0 = 0 ist die arithmetische Folge k 0, 3000, 6000, 9000, … , t·3000, … l . Diese arithmetische Folge ist die Einschränkung der linearen Funktion 3000x auf die Menge der natürlichen Zahlen. Wir sagen daher, dass die Anzahl der produzierten Autos linear wächst. Nach n Tagen werden insgesamt 3000·n Autos produziert. rekursive Darstellung der arithmetischen Folge Lösung von y n + 1 = cy n + d (c ≠ 1) B B B A, B ggb/xls 63gv4k lineares Wachstum modellieren Anzahl der Autos Tage 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000 27000 30000 0 10 987 65432 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv