Mathematik HTL 2, Schulbuch

123 4.2 Modellieren von Wachstum durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung Ich lerne eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung zu lösen. Ich lerne gewisse Wachstums- und Abnahmevorgänge durch lineare Differenzengleichungen erster Ordnung zu beschreiben und damit entsprechende Fragestellungen aus dem Alltag zu beantworten. Lineare Differenzengleichungen erster Ordnung Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind Zahlen c und a, sowie eine Folge k h n l . Gesucht ist eine explizite Form einer Folge k y n l mit den Eigenschaften:  y 0 = a und  für alle natürlichen Zahlen n ist y n + 1 = c·y n + h n . Eine solche Folge heißt Lösung der Differenzengleichung. Wir schreiben für diese Aufgabe kurz: „Löse die Differenzengleichung y n + 1 = c·y n + h n mit y 0 = a“. Wenn für alle n * N h n = 0 ist, heißt die Differenzengleichung homogen . Eine lineare Differenzengleichung erster Ordnung hat immer eine Lösung und diese ist eindeutig bestimmt, weil wir, mit y 0 = a beginnend, die Folgenglieder nacheinander aus dem jeweils voran- gegangenen berechnen können. y 0 = a y 1 = cy 0 + h 0 = ca + h 0 y 2 = cy 1 + h 1 = c 2 a + ch 0 + h 1 y 3 = cy 2 + h 2 = c 3 a + c 2 h 0 + ch 1 + h 2 y n = cy n – 1 + h n = c n a + c n – 1 h 0 + c n – 2 h 1 + … + ch n – 2 + h n – 1 Also: Die Folge k c n ·a + c n – 1 ·h 0 + c n – 2 ·h 1 + … + c·h n – 2 + h n – 1 l ist die einzige Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = c·y n + h n mit y 0 = a. Wenn wir y n wie oben berechnen, sagen wir, dass wir y n induktiv berechnet haben. 548 Berechne induktiv die ersten 6 Folgenglieder der Lösung der Differenzengleichung y n + 1 = 2·y n + (‒1) n ·n mit y 0 = ‒1. y 0 = ‒1 y 1 = 2y 0 + (‒1) 0 ·0 = ‒ 2 y 2 = 2y 1 + (‒1) 1 ·1 = ‒ 5 y 3 = 2y 2 + (‒1) 2 ·2 = ‒ 8 y 4 = 2y 3 + (‒1) 3 ·3 = ‒19 y 5 = 2y 4 + (‒1) 4 ·4 = ‒ 34 Die geometrische Folge k a·c n l mit Anfangsglied a ≠ 0 und Quotient c ist die einzige Lösung der homogenen Differenzengleichung y n + 1 = c·y n mit y 0 = a. Diese Differenzengleichung ist also eine rekursive Darstellung der geometrischen Folge k a·c n l . lineare Differenzen- gleichungen erster Ordnung Lösung einer linearen Differenzen- gleichung erster Ordnung B ggb/xls 3q8ah2 Folgenglieder induktiv berechnen rekursive Darstellung der geometrischen Folge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv