Mathematik HTL 2, Schulbuch

119 4.1 Folgen und Reihen Wie berechnet man die Summe s n = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n? Wir verwenden die Idee von Gauß und schreiben diese Summe zweimal untereinander an, wobei wir in der zweiten Zeile die Reihenfolge der Summanden umkehren. Dann addieren wir die bei- den Zeilen wie folgt: s n = 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n s n = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 2·s n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) Auf der rechten Seite steht n-mal derselbe Summand (n + 1). Daher ist 2·s n = n·(n + 1) und s n = n·(n + 1) __ 2 . Für alle natürlichen Zahlen n ist 0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 2) + (n – 1) + n = ; k = 0 n k = n·(n + 1) __ 2 . Das n-te Glied der arithmetischen Reihe ist daher ; k = 0 n (a + kd) = (n + 1)·a + d·n· n + 1 _ 2 = n + 1 _ 2 ·(2a + dn) = n + 1 _ 2 ·(a + (a + nd)) . Tipp Um die ersten n + 1 Glieder einer arithmetischen Folge zu addieren, addiert man also das 0-te und das n-te Folgenglied und multipliziert das Ergebnis mit n + 1 _ 2 . Anders formuliert: Man bildet den Mittelwert a + (a + nd) _ 2 des 0-ten und n-ten Folgengliedes und multipliziert es mit n + 1. Wenn f eine geometrische Folge ist, heißt R(f) eine geometrische Reihe . Das n-te Glied der geometrischen Reihe ist ; k = 0 n (a·q k ) = a·(1 + q 1 + q 2 + q 3 + … + q n ). Wir berechnen ; k = 0 n a·q k : Wenn q = 1 ist, ist ; k = 0 n (a·q k ) = ; k = 0 n a = (n + 1)·a. Wir nehmen nun an, dass q nicht 1 ist. Wegen ; k = 0 n (a·q k ) = a· ; k = 0 n q k müssen wir nur S n = ; k = 0 n q k = 1 + q 1 + q 2 + q 3 + … + q n berechnen. Wir subtrahieren nun S n von q·S n : q·S n = +q + q 2 + q 3 + q 4 + … + q n + q n + 1 ‒S n = ‒1 – q – q 2 – q 3 – … – q n q·S n – S n = ‒1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … + 0 + q n + 1 S n (q – 1) = q n + 1 – 1 | : (q – 1) (hier verwenden wir, dass q ≠ 1 ist!) S n = q n + 1 – 1 _ q – 1 Falls q = 1 ist, ist ; k = 0 n q k = n + 1 . Falls q ≠ 1 ist, ist ; k = 0 n q k = q n + 1 – 1 _ q – 1 . Das n-te Glied der durch a ≠ 1 und q ≠ 1 gegebenen geometrischen Reihe ist ; k = 0 n (a·q k ) = a· q n + 1 – 1 _ q – 1 . Summenformel einer arithmetischen Folge geometrische Reihe Summenformel einer geometrischen Folge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv