Mathematik HTL 2, Schulbuch

118 Folgen, Differenzengleichungen und Zinseszinsrechnung 521 Jemand behauptet, dass vom gelernten Stoff nach einer Stunde nur noch die ca. die Hälfte, nach zwei Stunden nur noch ein Viertel usw. im Gedächtnis abrufbar zur Verfügung steht. Berechne, wie viel Prozent des Stoffes über Folgen und Reihen du morgen um dieselbe Zeit theoretisch noch abrufen kannst. Beurteile, was von dieser Behauptung zu halten ist. 522 Faltet man ein quadratisches Blatt Papier mit einer Dicke von 0,1mm und einer Seitenlänge von 1m zwei Mal (siehe Skizze), so erhält man wieder ein Quadrat, welches jetzt die halbe Seitenlänge des ursprünglichen besitzt. a. Bestimme, welche Dicke dieses Quadrat jetzt besitzt. b. Diese doppelte Faltung wird 2-, 3-, 4-, 5-, 6-mal angewendet. Erstelle eine Tabelle, in der du jeweils die neue (theoretische) Seitenlänge und die Dicke des (theoretisch) entstehenden Quadrates einträgst. c. Gib an, ab wie vielen solchen doppelten Faltungen die Dicke des Quadrates größer als seine Seitenlänge ist. Ab diesem Zeitpunkt lässt sich das Papier nicht einmal mehr theoretisch falten. Reihen Aus einer Folge f = k f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , … l kann man eine neue Folge R(f) = k ; k = 0 n f k l = k f 0 , f 0 + f 1 , f 0 + f 1 + f 2 , f 0 + f 1 + f 2 + f 3 , f 0 + f 1 + f 2 + f 3 + f 4 , … l bilden. Das n-te Glied dieser neuen Folge ist die Summe der ersten n + 1 Folgenglieder von f. Wir nennen die Folge R(f) die Reihe von f . Wenn f = k a + nd l die arithmetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d ist, dann heißt R(f) eine arithmetische Reihe . Das n-te Glied der arithmetischen Reihe ist ; k = 0 n (a + kd). Wir berechnen ; k = 0 n (a + kd): Weil ; k = 0 n (a + kd) = ; k = 0 n a + ; k = 0 n kd = (n + 1)·a + d· ; k = 0 n k ist, müssen wir nur noch ; k = 0 n k = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n berechnen. Wie addiert man alle Zahlen von 1 bis 100? Vom Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777‒1855) wird erzählt, dass er diese Frage im Alter von 7 Jahren schneller beantwortet hätte, als es seinem Lehrer lieb war. Dieser musste nämlich die Klasse eine Viertelstunde verlassen und wollte die Schüler für diese Zeit damit beschäftigen, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Aber noch bevor er aus der Klasse gehen konnte, hat ihm der kleine Gauß die gesuchte Summe genannt: 5050. Anstatt die Zahlen von 1 bis 100 in dieser Reihenfolge zu addieren, hat er die erste und die letzte Zahl addiert, also 1 + 100, dann die zweite und die vorletzte, also 2 + 99, und jedes Mal 101 erhalten. Gauß sah dann, dass man so bis zu 50 + 51 kommt, also musste er nur noch 50 mit 101 multiplizieren und erhielt 50·101 = 5050. B, D A, B ggb b9p4sa Reihe arithmetische Reihe 1 2 3 … … 50 51 98 99 100 101 101 101 101 5 050 1 2 3 50 . . . . . . Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv